Caractériser les vecteurs d'un sous-espace vectoriel [Espace vectoriel de type fini]

Caractériser les vecteurs d'un sous-espace vectoriel

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) engendré par les vecteurs \(V_1=(1,0,-2)\) et \(V_1=(3,1,2)\).

Caractériser les vecteurs \(V=(x,y,z)\) de \(F\) par une relation entre \(x\), \(y\) et \(z\).

Solution

Le vecteur \(V=(x,y,z)\) appartient à \(F\) si et seulement s'il existe deux réels \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\)

tels que \(V=\lambda_1V_1+\lambda_2V_2\), soit \((x,y,z)=(\lambda_1+3\lambda_2,\lambda_2,-2\lambda_1+2\lambda_2)\)

donc si et seulement si le système \((S)\) suivant admet une solution :

\((S)~\left\{\begin{array}{rcrcr}\lambda_1&+&3\lambda_2&=&x\\&&\lambda_2&=&y\\-2\lambda_1&+&2\lambda_2&=&z\end{array}\right.\textrm{ \'equivalent au syst\`eme }\left\{\begin{array}{rcrcl}\lambda_1&+&3\lambda_2&=&x\\&&\lambda_2&=&y\\&&8\lambda_2&=&2x+z\end{array}\right.\)

Le système \((S)\) admet une solution si et seulement si \(2x+z=8y\).

Donc \(F\) est l'ensemble des vecteurs \(V=(x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^3\) tels que \(2x-8y+z=0\).