Construire une famille génératrice d'un espace vectoriel produit [Espace vectoriel de type fini]

Construire une famille génératrice d'un espace vectoriel produit

Durée : 6 mn

Note maximale : 5

Question

Soit \(\{a_1\textrm{,...,}a_n\} \)une famille génératrice d'un espace vectoriel \(E\) et \(\{b_1\textrm{,...,}b_p\} \)une famille génératrice d'un espace vectoriel \(F\).

Montrer que la famille \(\{(a_1,0)\textrm{,...,}(a_n,0),(0,b_1)\textrm{,...,}(0,b_p)\}\) est une famille génératrice de l'espace vectoriel produit \(E\times F\).

Solution

Soit \(w\) un vecteur de l'espace produit, alors il existe \(u\) un vecteur de \(E\) et \(v\) un vecteur de \(F\),

vérifiant \(w=(u,v)\).

\(\{a_1\textrm{,...,}a_n\}\) étant génératrice de \(E\), il existe \(n\) scalaires \(\alpha_1\textrm{,...,}\alpha_n\) vérifiant \(\displaystyle{u=\sum_{1\le i\le n}\alpha_ia_i}\), de même il existe \(p\) scalaires \(\beta_1\textrm{,...,}\beta_p\) vérifiant \(\displaystyle{u=\sum_{1\le j\le p}\beta_jb_j}\).

Or \(w=(u,0)+(0,v)=\displaystyle{\sum_{1\le i\le n}\alpha_i(a_i,0)+\sum_{1\le j\le p}\beta_j(0,b_j)}\).

Cette dernière égalité exprime que la famille de \(n+p\) vecteurs \(\{(a_1,0)\textrm{,...,}(a_n,0),(0,b_1)\textrm{,...,}(0,b_p)\}\) est une famille génératrice de l'espace vectoriel produit \(E\times F\).