Reconnaître une famille libre de fonctions
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) l'espace vectoriel des fonctions réelles,
si \(p=1,2,3 \textrm{ ou }4\), on définit les fonctions \(f_p\) par \(f_p(x)=\cos px\).
La famille \(\{f_1,f_2,f_3,f_4\}\) est-elle libre ?
Solution
Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) des réels tels que \(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3+\lambda_4f_4=0\) \((1)\).
L'égalité \((1)\) est vraie si et seulement si, pour tout réel \(x\),
\(\lambda_1\cos x+\lambda_2\cos2x+\lambda_3\cos3x+\lambda_4\cos4x=0\).
On peut donner des valeurs spéciales à \(x\):
Si \(x=0\), on obtient \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=0\).
Si \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}\), on obtient \(-\lambda_2+\lambda_4=0\).
Si \(x=\pi\), on obtient \(-\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3+\lambda_4=0\).
Si \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{3}}\), on obtient \(\lambda_1-\lambda_2-2\lambda_3-\lambda_4=0\).
Pour que l'égalité \((1)\) soit vraie, les quatre réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) doivent être solution du système \((S)\) suivant :
\(\begin{array}{rcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&+&\lambda_4&=&0\\&-&\lambda_2&&&+&\lambda_4&=&0\\-\lambda_1&+&\lambda_2&-&\lambda_3&+&\lambda_4&=&0\\\lambda_1&-&\lambda_2&-&2\lambda_3&-&\lambda_4&=&0\end{array}\right.}\\\\(S)&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&+&\lambda_4&=&0&\\&-&\lambda_2&&&+&\lambda_4&=&0&\\&&2\lambda_2&&&+&2\lambda_4&=&0&L_3\leftarrow L_3+L_1\\&-&2\lambda_2&-&3\lambda_3&-&2\lambda_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_1\end{array}\right.}\\\\(S)&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&+&\lambda_4&=&0&\\&-&\lambda_2&&&+&\lambda_4&=&0&\\&&&-&3\lambda_3&&&=&0&L_3\leftarrow L_4+L_3\\&&&&&&4\lambda_4&=&0&L_4\leftarrow L_3-2L_2\end{array}\right.}\end{array}\)
D'où \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0\).
L'égalité \((1)\) n'est vraie que si les quatre réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) sont nuls.
Conclusion : la famille \(\{f_1,f_2,f_3,f_4\}\) est libre.