Espace vectoriel de type fini

Barème : 3pts pour démontrer que le système n'est pas libre et 2pts pour trouver une relation de liaison.

On cherche les réels \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) tels que \(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3=0\).

\(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3=0\Leftrightarrow(\alpha_1+2\alpha_3, \alpha_2-3\alpha_3,3\alpha_1+2\alpha_2)=(0,0,0)\)

Cette égalité équivaut au système de trois équations à trois inconnues suivant :

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&&&+&2\alpha_3&=&0\\&&\alpha_2&-&3\alpha_3&=&0\\3\alpha_1&+&2\alpha_2&&&=&0\end{array}\right.\)

On obtient les systèmes équivalents suivants :

\(\begin{array}{rcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha_1&&&+&2\alpha_3&=&0&\\&&\alpha_2&-&3\alpha_3&=&0&\\&&2\alpha_2&-&6\alpha_3&=&0&L_3\leftarrow L_3-3L_1\end{array}\right.}\\\\ &\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha_1&&&+&2\alpha_3&=&0&\\&&\alpha_2&-&3\alpha_3&=&0&\\&&&&0\alpha_3&=&0&L_3\leftarrow L_3-2L_2\end{array}\right.}\end{array}\)

Il existe une infinité de triplets de nombres réels \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) tels que \(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3=0\),

ce sont tous les triplets \((\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\) tels que \(\alpha_1=-2\alpha_3\) et \(\alpha_2=3\alpha_3\) où \(alpha_3\) est un réel quelconque.

Le système de vecteurs \(\{v_1,v_2,v_3\}\) n'est donc pas libre.

Pour obtenir une relation de liaison, il suffit de fixer une valeur de \(\alpha_3\), par exemple \(\alpha_3=1\), alors \(\alpha_1=-2\) et \(\alpha_2=3\), d'où la relation de liaison : \(-2v_1+3v_2+v_3=0\), qui peut encore s'écrire : \(v_3=2v_1-3v_2\).