Rendre minimale une famille génératrice
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soient les quatre applications \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\), \(e_4\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies par :
\(\forall\in\mathbb{R}\), \(e_1(x)=\cos x\), \(e_2(x)=\sin x\), \(e_3(x)=x\), \(e_4(x)=\displaystyle{\cos\left(x+\frac{\pi}{12}\right)}\)
Soit \(E\) l'ensemble des fonctions de la forme : \(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4\) où \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) sont des nombres réels.
Montrer que la famille \(\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\) n'est pas une famille libre et en extraire une famille libre maximale.
Solution
Barème : 3pts pour montrer que la famille des 4 fonctions est liée et 7pts pour démontrer que les trois premières sont linéairement indépendantes.
Il est clair que \(\forall\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle{e_4(x)=\cos(x)\cos(\frac{\pi}{12})-\sin(x)\sin(\frac{\pi}{12})}\)
soit \(\forall\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle{e_4(x)=\cos(\frac{\pi}{12})e_1(x)-\sin(\frac{\pi}{12})e_2(x)}\)
d'où \(\displaystyle{e_4=\cos(\frac{\pi}{12})e_1-\sin(\frac{\pi}{12})e_2}\).
En conséquence \(e_4\) est combinaison linéaire de \(e_1, e_2\) donc les vecteurs \(e_1, e_2,e_3,e_4\) sont linéairement dépendants et \(E\) est le sous-espace vectoriel engendré par \(e_1, e_2, e_3\).
On étudie l'indépendance linéaire des vecteurs \(e_1, e_2, e_3\).
Soient \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) des scalaires tels que \(\lambda_1e_1+ \lambda_2e_2+ \lambda_3e_3=0\).
Cette relation est équivalente à : \(\forall x\in\mathbb{R}\), \(\lambda_1e_1(x)+ \lambda_2e_2(x)+ \lambda_3e_3(x)=0\)
soit \(\forall x\in\mathbb{R}\), \(\lambda_1\cos(x)+ \lambda_2\sin(x)+ \lambda_3x=0\)d'où en donnant successivement à \(x\) les valeurs \(0\), \(\pi\) et \(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\), on obtient \(\lambda_1=0\), \(\lambda_3=0\) et \(\lambda_2=0\). D'où le résultat.
La famille \(\{e_1,e_2,e_3\}\) est donc une famille libre maximale.
Remarque :
Rappelons le résultat du cours : Etant donnés \(n\) vecteurs dans un espace vectoriel, on appelle rang de la famille de ces vecteurs la dimension du sous-espace engendré par ces vecteurs. Le rang est maximum (égal à \(n\)) si et seulement si la famille est libre.