Soient \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4\) des réels tels que \(\mu_1f+\mu_2g+\mu_3h+\mu_4k=0\).
Ce qui équivaut à : \(\forall x\in\mathbb{R}\),\(\mu_1e^x+\mu_2e^{-x}+\mu_3e^{3x}+\mu_4e^{-2x}=0\) \((1)\).
Donner des valeurs spéciales à \(x\) conduirait à des calculs fastidieux.
Aussi on va utiliser deux propriétés de la fonction exponentielle, elle ne s'annule en aucun point réel et elle admet \(0\) pour limite quand \(x\) tend vers \(-\infty\).
En multipliant par \(e^{-3x}\) on obtient :
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1e^{-2x}+\mu_2e^{-4x}+\mu_3+\mu_4e^{-5x}=0\) .
En prenant la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on trouve \(\mu_3=0\).
Donc \((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1e^{x}+\mu_2e^{-x}+\mu_4e^{-2x}=0\).
En multipliant par \(e^{-x}\), on obtient :
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1+\mu_2e^{-2x}+\mu_4e^{-3x}=0\).
En prenant la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on trouve \(\mu_1=0\).
En continuant la même démarche, \(\mu_2\) puis \(\mu_4=0\).
Conclusion : la famille \(\{f,g,h,k\}\) est libre.