Reconnaître une famille libre de fonctions
Durée : 12 mn
Note maximale : 10
Question
Dans l'espace vectoriel \(E\) des fonctions réelles, on considère les fonctions \(f_1,f_2,f_3,f_4\) définies par :
\(\forall x\in\mathbb{R},f_1(x)=|x|,f_2(x)=|x-1|,f_3(x)=|x+1|,f_4(x)=|x-3|\)
La famille \(\{f_1,f_2,f_3,f_4\}\) est-elle libre ?
Solution
Soient \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4\) des réels tels que \(\mu_1f_1+\mu_2f_2+\mu_3f_3+\mu_4f_4=0\),
ce qui équivaut à \(\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1|x|+\mu_2|x-1|+\mu_3|x+1|+\mu_4|x-3|=0\).
En donnant successivement à \(x\) les valeurs \(1, 0, -1, 3\) on obtient le système :
\(\begin{array}{rcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}\mu_1&+&&&2\mu_3&+&2\mu_4&=&0\\&&\mu_2&+&\mu_3&+&3\mu_4&=&0\\\mu_1&+&2\mu_2&&&+&4\mu_4&=&0\\3\mu_1&+&2\mu_2&+&4\mu_3&&&=&0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&&&2\mu_3&+&2\mu_4&=&0&\\&&\mu_2&+&\mu_3&+&3\mu_4&=&0&\\&&2\mu_2&-&2\mu_3&+&2\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-L_1\\&&2\mu_2&-&2\mu_3&-&6\mu_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-3L_1\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&&&+&2\mu_3&+&2\mu_4&=&0&\\&&\mu_2&+&\mu_3&+&3\mu_4&=&0&\\&&\mu_2&-&\mu_3&+&\mu_4&=&0&L_3\leftarrow\frac{1}{2}L_3\\&&\mu_2&-&\mu_3&-&3\mu_4&=&0&L_4\leftarrow\frac{1}{2}L_4\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\mu_1&+&&&2\mu_3&+&2\mu_4&=&0&\\&&\mu_2&+&\mu_3&+&3\mu_4&=&0&\\&&&-&2\mu_3&-&2\mu_4&=&0&L_3\leftarrow L_3-L_2\\&&&-&2\mu_3&-&6\mu_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrlll}\mu_1&&&+&2\mu_3&+&2\mu_4&=&0&\\&&\mu_2&+&\mu_3&+&3\mu_4&=&0&\\&&&-&2\mu_3&-&2\mu_4&=&0&\\&&&&&-&4\mu_4&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_3\end{array}\right.}\end{array}\)
d'où \(\mu_4=0, \mu_3=0, \mu_2=0, \mu_1=0\).
Conclusion : la famille \(\{f_1,f_2,f_3,f_4\}\) est libre.