Décider si une partie est libre ou liée, trouver des relations de liaison
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
On considère le système \(\{u_1,u_2,u_3\}\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^3\), définis par
\(u_1=(1,a,3),u_2=(1,1,a),u_3=(a,1,3), a\in\mathbb{R}\)
Étudier, suivant les valeurs de \(a\), l'indépendance linéaire du système et préciser, chaque fois qu'il est lié, une relation de liaison.
Solution
Barème : 2pts pour repérer les 4 cas de discussion puis 2pts pour traiter chacun des cas.
Soient \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) des réels tels que \(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=0\).
\(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=0\Leftrightarrow(\lambda_1+\lambda_2+a\lambda_3,a\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,3\lambda_1+a\lambda_2+3\lambda_3)=0\)
D'où le système de trois équations aux trois inconnues \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\):
\(\begin{array}{rcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&a\lambda_3&=&0\\a\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\\3\lambda_1&+&a\lambda_2&+&3\lambda_3&=&0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\lambda_1&+&\lambda_2&+&a\lambda_3&=&0&\\&+&(1-a)\lambda_2&+&(1-a^2)\lambda_3&=&0&L_2\leftarrow L_2-aL_1\\&+&(a-3)\lambda_2&+&(3-3a)\lambda_3&=&0&L_3\leftarrow L_3-3L_1\end{array}\right.}\end{array}\)
En considérant la deuxième ligne, nous allons commencer une discussion suivant les valeurs de \(a\).
- Considérons le cas : \(a=1\).
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&a\lambda_3&=&0\\&&0\lambda_2&+&0\lambda_3&=&0\\&-&2\lambda_2&+&0\lambda_3&=&0\end{array}\right.\),
il a des solutions, par exemple \(\lambda_2=0\), \(\lambda_1=1\), \(\lambda_3=-1\), le système \({u_1, u_2, u_3}\) est lié et \(u_1-u_3=0\).
Étudions maintenant les cas \(a\neq1\), le système d'équations est alors équivalent à :
\(\begin{array}{rcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&a\lambda_3&=&0\\&&\lambda_2&+&(1+a)\lambda_3&=&0\\&&(a-3)\lambda_2&+&(3-3a)\lambda_3&=&0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\lambda_1&+&\lambda_2&+&a\lambda_3&=&0&\\&&\lambda_2&+&(1+a)\lambda_3&=&0&\\&&&&(6-a-a^2)\lambda_3&=&0&L_3\leftarrow L_3-(a-3)L_2\end{array}\right.}\end{array}\)
Or \(6-a-a^2=(2-a)(3+a)\), nous sommes ainsi amenés à distinguer deux nouveaux cas particuliers.
- Considérons le cas : \(a=2\).
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&2\lambda_3&=&0\\&&\lambda_2&+&3\lambda_3&=&0\\&&&&0\lambda_3&=&0\end{array}\right.\),
il a des solutions, par exemple \(\lambda_3=1\), \(\lambda_2=-3\), \(\lambda_1=1\), le système \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est lié et \(u_1-3u_2+u_3=0\).
Considérons le cas :\(a=-3\)
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&-&3\lambda_3&=&0\\&&\lambda_2&-&2\lambda_3&=&0\\&&&&0\lambda_3&=&0\end{array}\right.\),
il a des solutions, par exemple \(\lambda_3=1\), \(\lambda_2=2\), \(\lambda_1=1\), le système \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est lié et \(u_1+2u_2+u_3=0\).
Enfin il reste les cas : \(a\in\mathbb R\) et \(a\notin\{-3,1,2\}\).
\(6-a-a^2\neq0\) donc l'unique solution au système d'équations est \(\lambda_3=0\), \(\lambda_2=0\), \(\lambda_1=0\),.
Les vecteurs \(u_1,u_2,u_3\) sont linéairement indépendants.
Conclusion :
\(a=1\) | le système est lié | \(u_1-u_3=0\) |
\(a=2\) | le système est lié | \(u_1-3u_2+u_3=0\) |
\(a=-3\) | le système est lié | \(u_1+2u_2+u_3=0\) |
\(a\in\mathbb R-\{1,2,-3\}\) | le système est libre | pas de relation de liaison |
Autrement dit, le système est libre si et seulement si \(a\in\mathbb R-\{1,2,-3\}\).