Soit v=(x,y,z,t,u) un élément de F.
On peut écrire v=(x,x,z,t,-z-t) en utilisant la caractérisation des composantes d'un élément de F.
Ce qui équivaut à v=(x,x,0,0,0)+(0,0,z,0,-z)+(0,0,0,t,-t),
équivalent à v=x(1,1,0,0,0)+z(0,0,1,0,-1)+t(0,0,0,1,-1).
Les éléments de F sont donc les combinaisons linéaires des vecteurs
\epsilon_1=(1,1,0,0,0), \epsilon_1=(0,0,1,0,-1) et \epsilon_3=(0,0,0,1,-1).
La famille est \{\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3\} donc une famille finie génératrice de F qui est donc un espace de type fini.
Il admet donc une base.
Étudions l'indépendance linéaire de ces vecteurs.
Soit \alpha,\beta,\gamma des réels tels que \alpha\epsilon_1+\beta\epsilon_2+\gamma\epsilon_3=0.
Ceci équivaut à \alpha(1,1,0,0,0)+\beta(0,0,0,1,-1)+\gamma(0,0,0,1,-1)=(0,0,0,0,0)
soit (\alpha,\alpha,\gamma,-\gamma-\beta)=(0,0,0,0,0), d'où \alpha=\beta=\gamma=0.
La famille \{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\} est donc libre ; (\epsilon_1,\epsilon_2, \epsilon_3) est donc une base de F.