Trouver une base d'un espace vectoriel
Durée : 6 mn
Note maximale : 5
Question
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(R^5\) défini par
\(F=\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb R^5,x=y\textrm{ et }z+t+u=0\}\)
Montrer que \(F\) est un espace de type fini et déterminer une base de \(F\).
Solution
Soit \(v=(x,y,z,t,u)\) un élément de \(F\).
On peut écrire \(v=(x,x,z,t,-z-t)\) en utilisant la caractérisation des composantes d'un élément de \(F\).
Ce qui équivaut à \(v=(x,x,0,0,0)+(0,0,z,0,-z)+(0,0,0,t,-t)\),
équivalent à \(v=x(1,1,0,0,0)+z(0,0,1,0,-1)+t(0,0,0,1,-1)\).
Les éléments de \(F\) sont donc les combinaisons linéaires des vecteurs
\(\epsilon_1=(1,1,0,0,0)\), \(\epsilon_1=(0,0,1,0,-1)\) et \(\epsilon_3=(0,0,0,1,-1)\).
La famille est \(\{\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3\}\) donc une famille finie génératrice de \(F\) qui est donc un espace de type fini.
Il admet donc une base.
Étudions l'indépendance linéaire de ces vecteurs.
Soit \(\alpha,\beta,\gamma\) des réels tels que \(\alpha\epsilon_1+\beta\epsilon_2+\gamma\epsilon_3=0\).
Ceci équivaut à \(\alpha(1,1,0,0,0)+\beta(0,0,0,1,-1)+\gamma(0,0,0,1,-1)=(0,0,0,0,0)\)
soit \((\alpha,\alpha,\gamma,-\gamma-\beta)=(0,0,0,0,0)\), d'où \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
La famille \(\{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\}\) est donc libre ; \((\epsilon_1,\epsilon_2, \epsilon_3)\) est donc une base de \(F\).
Remarque :
Si l'on connaît les propriétés des sous-espaces vectoriels d'un espace de type fini, on sait d'avance que \(F\) est de type fini puisque c'est un sous-espace d'un espace de type fini. Cependant, le calcul fait ci-dessus est tout de même nécessaire pour déterminer explicitement une famille génératrice et, à partir de là, construire une base.