Extraire une base d'un système générateur dans un espace de fonctions
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(F\) l'espace vectoriel des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
On considère les fonctions \(f, g, h, k, p, q, r,\) définies par :
\(\begin{array}{cc}f(x)=1; g(x)=\sin x; h(x)=\sin^2x; k(x)=\sin2x\\p(x)=\cos x; q(x)=\cos^2x; r(x)=\cos2x\end{array}\)
On note \(E_1\) le sous-espace engendré par les fonctions \(f, g, h,\textrm{ et }k\)
et on note \(E_2\) celui engendré par \(f, p, q\) et \(r\).
Trouver une base de chacun des sous-espaces \(E_1\) et \(E_2\).
Solution
Étudions si la famille \(\{f,g,h,k\}\) est libre.
Soient \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4\) des réels tels que \(\mu_1f+\mu_2g+\mu_3h+\mu_4k=0\) (\(0\) désigne ici la fonction nulle).
Cette égalité est équivalente à : \(\forall x\in\mathbb R\), \(\mu_1+\mu_2\sin x+\mu_3\sin^2x+\mu_4\sin2x=0\).
On a donc nécessairement :
- Pour \(x=0,\mu_1=0\)
- Pour \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}, \mu_1+\mu_2+\mu_3=0}\)
- Pour \(\displaystyle{x=-\frac{\pi}{2}, \mu_1-\mu_2+\mu_3=0}\)
- Pour \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{4}, \mu_1-\frac{\sqrt2}{2}\mu_2+\frac{1}{2}\mu_3+\mu_4=0}\)
Les trois premières équations donnent \(\mu_1=\mu_2=\mu_3=0\).
En reportant dans la dernière, on obtient \(\mu_4\).
C'est l'unique solution du système, la famille \(\{f,g,h,k\}\) est donc libre, elle engendre \(E_1\), elle détermine donc une base de \(E_1\).
Étudions si la famille \(\{f,p,q,r\}\) est libre.
On a la relation : \(\forall x\in\mathbb{R}\quad\cos2x=2\cos^2x-1\).
D'où \(r=2q-f\). La famille \(\{f,p,q,r\}\) est donc liée, et \(\{f,p,q\}\) est une partie génératrice de \(E_2\).
Etudions si la famille \(\{f,p,q\}\) est libre.
Soient \(\mu_1,\mu_2,\mu_3\) des réels tels que \(\mu_1f+\mu_2p+\mu_3q=0\) (\(0\) désigne ici la fonction nulle).
Cette égalité est équivalente à : \(\forall x\in\mathbb{R}\quad \mu_1+\mu_2\cos x+\mu_3\cos^2x=0\).
On a donc nécessairement :
Pour \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{2},\mu_1=0}\)
Pour \(x=0,\mu_1+\mu_2+\mu_3=0\)
Pour \(x=\pi, \mu_1-\mu_2+\mu_3=0\)
L'unique solution du système ainsi obtenu est \(\mu_1=\mu_2=\mu_3=0\).
la famille \(\{f,p,q\}\) est libre, elle détermine donc une base de \(E_2\).