Construire une base de l'intersection de deux sous-espaces
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère dans \(\mathbb R^4\) :
le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par les vecteurs
\(v_1=(1,2,3,4),v_2=(2,2,2,6),v_3=(0,2,4,4)\)
et le sous-espace vectoriel \(G\) engendré par les vecteurs \(w_1=(1,0,-1,2),w_2=(2,3,0,1)\).
Trouver une base de \(F\), de \(G\), de \(F\cap G\).
Solution
On vérifie aisément que la famille \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est libre, donc elle détermine une base de \(F\).
De même \(\{w_1,w_2\}\) est une famille libre, donc elle détermine une base de \(G\).
On cherche à caractériser les éléments de \(F\cap G\).
Un vecteur \(v=(x,y,z,t)\) est élément de \(F\cap G\) si et seulement si il existe des réels \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4,\mu_5\) tels que \(v=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3=\mu_4w_1+\mu_5w_2\).
D'où le système \((S)\):
\(\begin{array}{rcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcl}\mu_1&+&2\mu_2&&&&&&&=&x\\2\mu_1&+&2\mu_2&+&2\mu_3&&&&&=&y\\3\mu_1&+&2\mu_2&+&4\mu_3&&&&&=&z\\4\mu_1&+&6\mu_2&+&4\mu_3&&&&&=&t\\&&&&&&\mu_4&+&2\mu_5&=&x\\&&&&&&&&3\mu_5&=&y\\&&&&&-&\mu_4&&&=&z\\&&&&&&2\mu_4&+&\mu_5&=&t\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcl}\mu_1&+&2\mu_2&&&&&&&=&x\\&-&2\mu_2&+&2\mu_3&&&&&=&-2x+y\\&-&4\mu_2&+&2\mu_3&&&&&=&-3x+z\\&-&2\mu_2&+&4\mu_3&&&&&=&-4x+t\\&&&&&&\mu_4&+&2\mu_5&=&x\\&&&&&&&&3\mu_5&=&y\\&&&&&&&&2\mu_5&=&x+z\\&&&&&&&-&3\mu_5&=&-2x+t\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcl}\mu_1&+&2\mu_2&&&&&&&=&x\\&-&2\mu_2&+&2\mu_3&&&&&=&-2x+y\\&&&&0\mu_3&&&&&=&x-2y+z\\&&&&2\mu_3&&&&&=&-2x-y+t\\&&&&&&\mu_4&+&2\mu_5&=&x\\&&&&&&&&3\mu_5&=&y\\&&&&&&&&0\mu_5&=&3x-2y+3z\\&&&&&&&&0\mu_5&=&-2x+y+t\end{array}\right.}\end{array}\)
Le système \((S)\) a des solutions si et seulement si \((x,y,z,t)\) vérifie le système \((S')\) :
\(\begin{array}{rcl}{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}x&-&2y&+&z&&&=&0\\3x&-&2y&+&3z&&&=&0\\-2x&+&y&&&+&t&=&0\end{array}\right.}&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}x&-&2y&+&z&&&=&0\\&&4y&&&&&=&0\\&-&3y&+&2z&+&t&=&0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{lr}y=&0\\z=&-x\\t=&2x\end{array}\right.}\end{array}\)
On obtient donc: \(v=(x,y,z,t)\) est élément de \(F\cap G\) si et seulement si \(v=(x,0,-x,2x)=x(1,0,-1,2)\).
Soit le vecteur \(u=(1,0-1,2)\); \(u\) est non nul, c'est une base de \(F\cap G\).