Construire une base d'un sous-espace vectoriel de R^4 [Espace vectoriel de type fini]

Construire une base d'un sous-espace vectoriel de R^4

Durée : 5 mn

Note maximale : 5

Soit , \(E=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4/x-y+z-t=0\}\), \(E\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^4\).

Trouver une base de \(E\) et en déduire sa dimension.

Soit \(v=(x,y,z,t)\).

\(v\) appartient à \(E\) si et seulement si \(t=x-y+z\),

c'est-à-dire si et seulement si \(v=(x,y,z,x-y+z)\) ou \(v=x(1,0,0,1)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,1)\).

Les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1), v_2=(0,1,0,-1), v_3=(0,0,1,1)\) sont éléments de \(E\) et en constituent une famille génératrice.

On vérifie facilement qu'elle est libre.

En effet : soient trois réels \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) tels que \(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0\),

on a alors \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3)=(0,0,0,0)\).

Les trois réels \(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3\) sont donc nuls.

Conclusion : \((v_1,v_2,v_3)\) est donc une base de \(E\) et \(\dim E=3\).