Reconnaître qu'un système de vecteurs de P3(R) est une base de P3(R)
Durée : 5 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(P_3(\mathbb R)\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré au plus \(3\).
1. Donner, sans démonstration, la dimension de \(P_3(\mathbb R)\).
2. Dans l'espace vectoriel \(P_3(\mathbb R)\), montrer que les fonctions
\(p_1 :x\mapsto1 ; p_2 :x\mapsto1+x ; p_3 :x\mapsto1+x+x^2 ; p_4 :x\mapsto1+x+x^2+x^3\) déterminent une base.
Faut-il expliciter la fonction polynôme \(p : x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) au moyen
de \(p_1, p_2, p_3, p_4\) pour le prouver ?
Solution
1. \(\dim P_3(\mathbb R)=4\)
2. Montrons que \(p_1,p_2,p_3,p_4\) sont linéairement indépendants.
Soit \((e_0,e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(P_3(\mathbb R)\).
\(e_0 :x\mapsto1 ;e_1 :x\mapsto x ; e_2 :x\mapsto x^2 ; e_3 :x\mapsto x^3\)
Soient \(a_1,a_2,a_3,a_4\) quatre réels tels que \(a_1p_1+a_2p_2+a_3p_3+a_4p_4=0\) (1)
\(p_1=e_0\), \(p_2=e_0+e_1\), \(p_3=e_0+e_1+e_2\), \(p_4=e_0+e_1+e_2+e_3\)
\(\begin{array}{rcl}(1)&\Leftrightarrow& a_1e_0+a_2(e_0+e_1)+a_3(e_0+e_1+e_2)+a_4(e_0+e_1+e_2+e_3)=0\\&\Leftrightarrow&(a_1+a_2+a_3+a_4)e_0+(a_2+a_3+a_4)e_1+(a_3+a_4)e_2+(a_4)e_3=0\\&\Leftrightarrow& a_1=a_2=a_3=a_4=0\end{array}\) car \(\{e_0,e_1,e_2,e_3\}\) est une famille libre de \(P_3(\mathbb R)\).
\(p_1,p_2,p_3,p_4\) sont donc linéairement indépendants. L'espace vectoriel \(P_3(\mathbb R)\) a pour dimension 4.
Les quatre fonctions \(p_1,p_2,p_3,p_4\) déterminent donc une base de \(P_3(\mathbb R)\).
Pour pouvoir conclure il était donc inutile d'expliciter la fonction polynôme \(p :x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) au moyen de \(p_1,p_2,p_3,p_4\).
Remarque :
La fonction polynôme \(p :x\mapsto a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) s'exprime au moyen de \(p_1,p_2,p_3,p_4\) de la façon suivante :
\(p=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3\)
\(p=a_0p_1+a_1(p_2-p_1)+a_2(p_3-p_2)+a_3(p_4-p_3)\)
\(p=(a_0-a_1)p_1+(a_1-a_2)p_2+(a_2-a_3)p_3+a_3p_4\)