Construction d'une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de R^3
Partie
Question
Soit l'espace vectoriel \(F :=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 ;x+y+z=0 \textrm{ et }x-y=0\}\)
Construire une famille génératrice de \(F\).
Aide simple
Exprimer \(y\) et \(z\) en fonction de \(x\).
Aide méthodologique
On caractérise les vecteurs de \(F\) à l'aide de leurs composantes
Aide à la lecture
L'ensemble \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) (un exemple de démonstration de ce résultat est proposé dans les exercices guidés sur les sous-espaces vectoriels), donc \(F\) possède une structure d'espace vectoriel.
Trouver trois vecteurs appartenant à \(F\) pour guider l'intuition.
Solution détaillée
Soit \(u=(x,y,z)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb R^3\), \(u\) appartient à \(F\) si et seulement si \(x+y+z=0\)
et \(x-y=0\), ce qui équivaut à \(y=x\) et \(z=-2x\).
Alors \(u=(x,x,-2x)\) avec \(x\) réel quelconque donc
\(u\in F~\Leftrightarrow~\exists\alpha\in\mathbb R,u=(\alpha,\alpha,-2\alpha)~\Leftrightarrow~\exists\alpha\in\mathbb R,u=\alpha(1,1,-2)\)
Notons \(v\) le vecteur \((1,1,-2)\) de \(F\), nous venons de démontrer que \(u\) est élément de \(F\) si et seulement si \(u\) est combinaison linéaire du vecteur \(v\).
La partie \(\{(1,1,-2)\}\) est une partie génératrice de \(F\).