Réunion, produit cartésien, intersection de familles génératrices
Partie
Question
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), \(A\) (resp. \(B\)) une partie génératrice de \(F\) (resp. \(G\)).
Montrer que \(A\cup B\) est une partie génératrice du sous-espace vectoriel \(F+G\).
La partie \(A\times B\) est-elle une partie génératrice de l'espace vectoriel \(F\times G\)?
Justifier la réponse.
Si \(A\cap B\) n'est pas vide, \(A\cap B\) est-elle une partie génératrice du sous-espace vectoriel \(F\cap G\)?
Justifier la réponse.
Aide simple
Pour 2. et 3., ne pas oublier qu'un contre-exemple doit être simple, ici il y a intérêt à considérer \(\mathbb R\) ou \(\mathbb R^2\).
Aide méthodologique
Il s'agit de prendre un vecteur quelconque de \(F+G\), et de montrer qu'il est combinaison linéaire de vecteurs de \(A\cup B\).
Si on sait démontrer que tout vecteur de \(F\times G\) est combinaison linéaire d'éléments de \(A\times B\), la réponse sera oui. Si on n'arrive pas à faire la démonstration on cherche à construire un vecteur qui ne soit pas combinaison linéaire d'éléments de \(A\times B\); ce vecteur, quand il est construit, s'appelle un contre-exemple, alors la réponse est non.
Aide à la lecture
\(F+G=\left\{z\in E/\exists x\in F\textrm{ et }\exists y\in G\textrm{ tels que }z=x+y\right\}\)
\(F\cap G=\left\{z\in E/z\in F\textrm{ et }z\in G\right\}\) et \(F\times G=\left\{u=(x,y)~|~x\in F\textrm{ et }y\in G\right\}\)
Solution détaillée
1. Soit \(z\) un élément de \(F+G\), alors il existe un élément \(x\) de \(F\) et un élément \(y\) de \(G\) tels que \(z=x+y\). \(A\) étant une famille génératrice de \(F\), \(x\) est combinaison linéaire d'éléments de \(A\), de même \(B\) étant une famille génératrice de \(G\), \(y\) est combinaison linéaire d'éléments de \(B\), ainsi il existe des scalaires : \(\alpha_1,\ldots,\alpha_p,\beta_1,\ldots,\beta_q\), des éléments de \(A\) : \(a_1,\ldots,a_p\) et des éléments de \(B\) : \(b_1,\ldots,b_q\) tels que \(x=\alpha_1a_1+\cdots+\alpha_pa_p\) et \(y=\beta_1b_1+\cdots+\beta_qb_q\).
On en déduit \(z=\alpha_1a_1+\cdots+\alpha_pa_p+\beta_1b_1+\cdots+\beta_qb_q\).
Or les \(a_i\) et les \(b_j\) sont des éléments de la réunion de \(A\) et de \(B\), ainsi \(z\) s'écrit comme combinaison linéaire d'éléments de \(A\cup B\).
Donc \(A\cup B\) est une partie génératrice du sous-espace vectoriel \(F+G\).
2. Pour \(A\times B\) la réponse est non.
Soit \(E=F=G=\mathbb R\), \(A=B=\{1\}\) alors \(A\times B=\{(1,1)\}\) et \(F\times G=\mathbb R^2\).
\(\mathbb R^2\) n'est pas engendré par l'unique vecteur \((1,1)\), par exemple \((0,1)\) n'est pas combinaison linéaire de \((1,1)\).
Remarque :
On pourra vérifier que \([A\times\{0\}]\cup[\{0\}\times B]\) est une partie génératrice de \(F\times G\).
3. Pour \(A\cap B\) la réponse est encore non. Pour le démontrer, on va construire un contre-exemple :
Soit \(E=F=G=\mathbb R^2\), \(A=\{(1,0) ;(0,1)\}\), \(B=\{(1,1) ;(0,1)\}\), alors \(A\) est une partie génératrice de \(F\) car tout élément \(u=(x,y)\) de \(F\) s'écrit : \(u=x(1,0)+y(0,1)\). De même \(B\) est une partie génératrice de \(G\) car tout élément \(u=(x,y)\) de \(G\) s'écrit : \(u=x(1,1)+(y-x)(0,1)\).
Or \(A\cap B=\{(0,1)\}\) n'est pas une partie génératrice de \(F\cap G=\mathbb R^2\), par exemple \((2,1)\) n'est pas combinaison linéaire de \(\{(0,1)\}\).
Ainsi, même si elle n'est pas vide, l'intersection de deux parties génératrices n'est pas en général une partie génératrice de l'intersection.