Equivalence de la propriété "être génératrice" pour deux familles données
Partie
Question
Soit \(E\) un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel,
montrer que la famille de vecteurs \(u\), \(v\) est génératrice de \(E\) si et seulement si la famille de vecteurs \(u+v\), \(u-v\) est génératrice de \(E\).
Aide méthodologique
Commencer par la condition suffisante.
Exprimer \(u\) puis \(v\) comme combinaison linéaire de \((u+v)\) et \((u-v)\), établir alors la condition nécessaire.
Solution détaillée
Supposons que la famille \(u+v\), \(u-v\) soit génératrice de \(E\).
Montrons que la famille \(u\), \(v\) est génératrice de \(E\).
En effet : soit \(w\) un vecteur quelconque de \(E\). Alors \(w\) est combinaison linéaire de \(u+v\) et \(u-v\).
Donc il existe deux scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(w=\alpha(u+v)+\beta(u-v)\).
On en déduit l'égalité \(w=(\alpha+\beta)u+(\alpha-\beta)v\). Cette dernière égalité exprime que le vecteur \(w\) est combinaison linéaire des vecteurs \(u\) et \(v\).
Conclusion : la famille \(u\), \(v\) est génératrice de \(E\).
Avant d'établir la condition nécessaire remarquons que \(\displaystyle{u=\frac{1}{2}(u+v)+\frac{1}{2}(u-v)}\) et \(\displaystyle{v=\frac{1}{2}(u+v)-\frac{1}{2}(u-v)}\)
Supposons que la famille \(u\), \(v\) soit génératrice de \(E\).
Montrons que la famille \(u+v\), \(u-v\) est génératrice de \(E\).
En effet : soit \(w\) un vecteur quelconque de \(E\), alors \(w\) est combinaison linéaire de \(u\) et \(v\) donc il existe deux scalaires \(\gamma\) et \(\delta\) tels que \(w=\gamma u+\delta v\), on en déduit l'égalité
\(\displaystyle{w=\left(\frac{\gamma}{2}+\frac{\delta}{2}\right)(u+v)+\left(\frac{\gamma}{2}-\frac{\delta}{2}\right)(u-v)}\)
Cette égalité exprime que le vecteur \(w\) est combinaison linéaire des vecteurs \(u+v\), \(u-v\).
Conclusion : la famille \(u+v\), \(u-v\) est génératrice de \(E\).