Rang de systèmes de vecteurs de R^3

Partie

Question

On considère les cinq vecteurs de \(\mathbb R^3\) :

\(s=(0,0,0)\), \(t=(0,1,0)\), \(u=(1,2,-1)\), \(v=(-3,-6,3)\) et \(w=(1,-2,1)\)

Calculer le rang des systèmes suivants :

\(S_1=\{s\}\), \(S_2=\{s,t\}\), \(S_3=\{s,t,u\}\), \(S_4=\{s,t,u,v\}\) et \(S_5=\{s,t,u,v,w\}\)

Aide méthodologique

Prendre le temps d'observer les vecteurs et d'écrire les combinaisons linéaires évidentes.

Chercher des bases des sous-espaces vectoriels engendrés.

Aide à la lecture

Il s'agit de trouver la dimension de chaque sous-espace vectoriel \(E_i\) engendré par les vecteurs du système \(S_i\).

Solution détaillée
Remarque

\(s\) est le vecteur nul, \(v=-3u\).

Notons \(E_i\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) engendré par les vecteurs du système \(S_i\).

  1. \(E_1=\{0\}\)

    Donc le rang du système \(S_1\) est égal à 0

  2. \(E_2=\mathbb Rt\) et \(t\neq0\)

    Donc le rang du système \(S_2\) est égal à 1.

  3. \(E_3=\mathbb Rt\oplus\mathbb Ru\) car les vecteurs \(t\) et \(u\) ne sont pas proportionnels.

    Donc le rang du système \(S_3\) est égal à 2.

  4. \(E_4=\mathbb Rt\oplus\mathbb Ru\) car le vecteur \(v\) est proportionnel au vecteur \(u\).

    Donc le rang du système \(S_4\) est égal à 2.

  5. \(E_5=\mathbb Rt\oplus\mathbb Ru\oplus\mathbb Rw\) car le vecteur \(w\) n'est pas combinaison linéaire des vecteurs \(t\) et \(u\). Sinon il existerait des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha t+\beta u=w\). Alors, en regardant les premières et les troisièmes composantes, on obtient \(\beta=1\) et \(\beta=-1\), ce qui est absurde.

    Donc le rang du système \(S_5\) est égal à 3.