Rang de systèmes de vecteurs de R^4

Partie

Question

Calculer le rang des systèmes de vecteurs de \(\mathbb R^4\) suivants :

  1. \(S=\{(1,0,2,3),(7,4,-2,-1),(5,2,4,7),(3,2,0,1)\}\)

  2. \(S'=\{(1,1,1,1),(0,1,2,-1),(1,0,-2,3),(2,1,0,-1)\}\)

Aide simple

  1. Laisser \(t=(1,0,2,3)\) inchangé,

    remplacer \(u=(7,4,-2,-1)\) par \(u_1=u-7t\),

    remplacer \(v=(5,2,4,7)\) par \(v_1=v-5t\),

    et remplacer \(w=(3,2,0,1)\) par \(w_1=w-3t\).

Aide méthodologique

Utiliser la méthode exposée dans la ressource de cours "Rang d'une famille finie de vecteurs", remplaçant un système de vecteurs par un autre de même rang en faisant apparaître des zéros sur les premières composantes puis, par itération, sur les suivantes.

Solution détaillée

Les démonstrations sont basées sur la propriété du cours :

On ne change pas le rang d'un système quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.

  1. \(S=\{(1,0,2,3),(7,4,-2,-1),(5,2,4,7),(3,2,0,1)\}\)

    Première étape : on laisse \(t=(1,0,2,3)\) inchangé, on remplace les vecteurs \(u=(7,4,-2,-1)\)

    par \(u_1=u-7t\), \(v=(5,2,4,7)\) par \(v_1=v-5t\) et \(w=(3,2,0,1)\) par \(w_1=w-3t\). Cela donne :

    \(\left\{\begin{array}{rcrcrclllllrlrl}&&t&=&t_1&=&(&1&,&0&,&2&,&3&)\\u&-&7t&=&u_1&=&(&0&,&4&,&-16&,&-22&)\\v&-&5t&=&v_1&=&(&0&,&2&,&-6&,&-8&)\\w&-&3t&=&w_1&=&(&0&,&2&,&-6&,&-8&)\end{array}\right.\)

    Alors \(rg(t,u,v,w)=1+rg(u_1,v_1,w_1)\).

    Deuxième étape : on remarque que \(v_1=w_1\), donc \(rg(u_1,v_1,w_1)=rg(u_1,v_1)\), on recommence le procédé avec \(u_1\) et \(v_1\).

    \(\left\{\begin{array}{cccccccccccccccc}&&&v_1&=&u_2&=&(&0&,&2&,&-6&,&-8&)\\&u_1&-&2v_1&=&v_2&=&(&0&,&0&,&-4&,&-6&)\end{array}\right.\)

    Alors \(rg(u_1,v_1)=1+rg(v_2)\).

    Or \(v_2\neq0\) donc \(rg(v_2)=1\), enfin \(rg(S)=3\).

  2. \(S'=\{(1,1,1,1),(0,1,2,-1),(1,0,-2,3),(2,1,0,-1)\}\)

    Première étape : on laisse \(t'=(1,1,1,1)\) et \(u'=(0,1,2,-1)\) inchangés, on remplace les

    vecteurs \(v=(1,0,-2,3)\) par \(v_1'=v'-t'\) et \(w'=(2,1,0,-1)\) par \(w_1'=w'-2t'\). Cela donne :

    \(\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}&&&t'&=&t_1'&=&(&1&,&1&,&1&,&1&)\\&&&u'&=&u_1'&=&(&0&,&1&,&2&,&-1&)\\&v'&-&t'&=&v_1'&=&(&0&,&-1&,&-3&,&2&)\\&w'&-&2t'&=&w_1'&=&(&0&,&-1&,&-2&,&-3&)\end{array}\right.\)

    Alors \(rg(t',u',v',w')=1+rg(u_1',v_1'w_1')\).

    Deuxième étape : on recommence le procédé avec les vecteurs \(u_1'\), \(v_1'\) et \(w_1'\).

    Il est immédiat que \(rg(u'_2,v_2',w_2')=3\) donc \(rg(S')=4\).