Rang d'un système de vecteurs de R^4, suivant les valeurs d'un paramètre
Partie
Question
On considère les quatre vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) :
\(t=(1,1,1,a), u=(1,1,a,1), v=(1,a,1,1)\) et \(w=(a,1,1,1)\)
où \(a\) est un paramètre réel.
Etudier, suivant les valeurs de \(a\), le rang du système formé par ces quatre vecteurs.
Aide simple
Remplacer le système \(S_0=\{t,u,v,w\}\) par le système \(S_1=\{t_1,u_1,v_1,w_1\}\) où \(t_1=t\),\(u_1=u-t\), \(v_1=v-t\), \(w_1=w-at\).
Aide méthodologique
Utiliser la méthode exposée dans le cours, remplaçant un système de vecteurs par un autre de même rang en faisant apparaître des zéros sur les premières composantes puis, par itération, sur les suivantes.
Aide à la lecture
Les composantes des vecteurs dépendent d'un paramètre \(a\). Le rang du système va donc dépendre de \(a\). Il faudra savoir donner le rang, quelle que soit la valeur de \(a\).
Solution détaillée
La démonstration est basée sur la propriété du cours :
On ne change pas le rang d'un système quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.
On remplace le système \(S_0=\{t,u,v,w\}\) par le système \(S_1=\{t_1,u_1,v_1,w_1\}\) d'où
\(S_0\left\{\begin{array}{cc}t=(1,1,1,a)\\u=(1,1,a,1)\\v=(1,a,1,1)\\w=(a,1,1,1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{cccr}&t_1&=&t\\&u_1&=&u-t\\&v_1&=&v-t\\&w_1&=&w-at\end{array}\right.S_1\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}&t_1&=&(&1&,&1&,&1&,&a&)\\&u_1&=&(&0&,&0&,&a-1&,&1-a&)\\&v_1&=&(&0&,&a-1&,&0&,&1-a&)\\&w_1&=&(&0&,&1-a&,&1-a&,&1-a^2&)\end{array}\right.\)
On remplace le système \(S_1=\{t_1,u_1,v_1,w_1\}\) par le système \(S_2=\{t_2,u_2,v_2,w_2\}\) d'où
\(\left\{\begin{array}{cccc}&t_2&=&t_1\\&u_2&=&v_1\\&v_2&=&u_1\\&w_2&=&w_1+v_1\end{array}\right.S_2\left\{\begin{array}{cccccccccccc}&t_2&=&(&1&,&1&,&1&,&a&)\\&u_2&=&(&0&,&a-1&,&0&,&1-a&)\\&v_2&=&(&0&,&0&,&a-1&,&1-a&)\\&w_2&=&(&0&,&0&,&1-a&,&2-a-a^2&)\end{array}\right.\)
On remplace le système \(S_2=\{t_2,u_2,v_2,w_2\}\) par le système \(S_3=\{t_3,u_3,v_3,w_3\}\) d'où
\(\left\{\begin{array}{cccc}&t_3&=&t_2\\&u_3&=&u_2\\&v_3&=&v_2\\&w_3&=&w_2+v_2\end{array}\right.S_2\left\{\begin{array}{cccccccccccc}&t_3&=&(&1&,&1&,&1&,&a&)\\&u_3&=&(&0&,&a-1&,&0&,&1-a&)\\&v_3&=&(&0&,&0&,&a-1&,&1-a&)\\&w_3&=&(&0&,&0&,&0&,&3-2a-a^2&)\end{array}\right.\)
Or \(3-2a-a^2=(3+a)(1-a)\), on est donc amené à distinguer trois cas :
1er cas \(a=1\) ,
alors \(t=u=v=w\), le rang du système S est 1.
2ème cas \(a=-3\) ,
alors \(w_3\) est le vecteur nul, donc le système \(S\) a le rang du système :
\(\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}t_3=(&1&,&1&,&1&,&-3&)\\u_3=(&0&,&-4&,&0&,&4&)\\v_3=(&0&,&0&,&-4&,&4&)\end{array}\right.\)
Le rang du système S est 3.
Une relation de liaison est : \(t+u+v+w=0\).
3ème cas \(a\neq-3\) et \(a\neq1\) ,
alors le système \(S_3\) est libre donc le rang du système S est 4.
Remarque :
Lorsqu'il y a discussion en fonction d'un paramètre, il y a intérêt à repousser la discussion le plus tard possible pour ne pas introduire des cas particuliers parasites.
Ici, par exemple, si on avait utilisé le vecteur w pour démarrer le pivot, on aurait introduit les cas \(a=0\) et \(a\neq0\), alors que l'étude précédente révèle que le cas \(a=0\) n'est pas un "vrai" cas particulier.