Caractérisation d'une application linéaire
Pour démontrer qu'une application est linéaire, on peut aussi utiliser une propriété plus "concentrée" donnée par la caractérisation suivante :
Caractérisation d'une application linéaire
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels et \(f\) une application de \(E\) dans \(F\); l'application f est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\) et pour tous scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) de \(\mathbf K\),
\(f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)\)
Preuve :
Soient \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\), \(u\) et \(v\) deux vecteurs de \(E\), \(\alpha\) et \(\beta\) deux éléments de \(\mathbf K\).
\(\begin{array}{rcl}f(\alpha u+\beta v)&=&f(\alpha u) + f(\beta v)\textrm{ (propri\'et\'e (1) de la lin\'earit\'e de }f)\\&=& \alpha f(u) + \beta f(v)\textrm{ (propri\'et\'e (2) de la lin\'earit\'e de }f)\end{array}\)
Réciproque
Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) telle que, pour tous vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\) et pour tous scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) de \(\mathbf K\), \(f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)\) (3) alors,
pour tous vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\),
\(f(u + v) = f(u) + f(v)\) (égalité (3) dans le cas particulier où \(\alpha = \beta = 1\)),
pour tout vecteur \(u\) de \(E\) et pour tout scalaire \(\alpha\) de \(\mathbf K\),
\(f(\alpha u) = \alpha f(u)\) (égalité (3) dans le cas particulier où \(\beta = 0\)).