Image d'une combinaison linéaire
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\), alors
\(\forall n \in N^*, \forall (\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n) \in \mathbf K^n, \forall(u_1, u_2, ..., u_n) \in \mathbb E^n\)
\(f(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n }\lambda_i u_i) = \displaystyle{ \sum_{i=1}^n }\lambda_i f(u_i)\)
Cette proposition se démontre par récurrence sur \(n\).
Démonstration :
Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(P(n)\) la propriété suivante :
\(" \forall (\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) \in \mathbf K^n, \forall(u_1, u_2, ..., u_n) \in \mathbf E^n,f(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n }\lambda_i u_i) = \displaystyle{ \sum_{i=1}^n }\lambda_i f(u_i) "\)
\(f\) est linéaire donc : \(\forall \lambda \in \mathbf K, \forall u \in \mathbf E, f(\lambda u) = \lambda f(u)\). \(P(1)\) est donc vraie.
On suppose que \(P(n)\) est vraie pour un entier naturel n non nul.
Soient \((\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n, \lambda_{n+1}) = f(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n }\lambda_i u_i) + \lambda_{n+1} f(u_{n+1})\) car \(f\) est linéaire.
D'où, d'après l'hypothèse de récurrence,
\(f(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} }\lambda_iu_i) = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\lambda_if(u_i) + \lambda_{n+1} f(u_{n+1}) = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} }\lambda_i f(u_i)}\)
Si \(P(n)\) est vraie, alors \(P(n+1)\) est vraie.
D'après le théorème de récurrence,\( P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\) non nul.