Application linéaire

Pour montrer qu'une application linéaire est injective ou ne l'est pas, on détermine son noyau :

• si le noyau ne contient que l'élément nul, l'application est injective,

• si on peut mettre en évidence l'existence d'un vecteur non nul dans ce noyau, l'application n'est pas injective.

Pour montrer qu'une application est surjective, on se sert de la méthode habituelle :

• Démontrer que tout élément de l'espace d'arrivée admet un antécédent.

• Parfois il est judicieux de se servir du fait que \(\mathrm{Im}(f)\) est un sous-espace vectoriel, pour le comparer à l'espace d'arrivée.