Exemple
Soit \(f\) l'application de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^3\) définie par :
\(\left[\begin{array}{rcll}f : &\mathbb R^2&\to& \mathbb R^3\\ &(x,y) &\mapsto& (x,x,y)\end{array}\right.\)
On montre facilement que \(f\) est linéaire.
On détermine le noyau de\( f\) :
\(\begin{array}{rcl}\mathrm{Ker}(f) &=& \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / f((x,y)) = 0_{\mathbb R^3}\}\\&=& \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / (x,x,y) = (0,0,0)\}\\&=& \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / x = 0, y = 0\}\end{array}\)
donc \(\mathrm{Ker}(f) =\{ 0_{\mathbb R^2}\}\), donc \(f\) est injective.
Par contre \(f\) n'est pas surjective car par exemple le vecteur \((1,2,3)\) de\( \mathbb R^3\) n'appartient pas à l'image de \(f\), donc \(\mathrm{Im}(f) \ne \mathbb R^3\).