Tester la linéarité d'une application (1)
Durée : 12 mn
Note maximale : 10
Question
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont linéaires ?
Donner une justification pour celles qui ne le sont pas.
\(\left[\begin{array}{rccl}f_1 :& \mathbb R^3&\to& \mathbb R^2\\ &(x,y,z) &\mapsto& (x,z)\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_2 :& \mathbb R^4&\to& \mathbb R^4\\ &(x,y,z,t) &\mapsto& (-x,y,-z,t)\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_3 :& \mathbb R^3&\to& \mathbb R^3\\ &v &\mapsto& v+(0,1,0)\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_4 :& \mathbb R^2&\to& \mathbb R^2\\ &(x,y) &\mapsto& (2x+y,y)\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_5 :& \mathbb R^2&\to& \mathbb R^2\\ &(x,y) &\mapsto& (3y,y-z)\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_6 :& \mathbb R^2&\to& \mathbb R\\ &(x,y) &\mapsto& xy\end{array}\right.\)
Solution
Barème : 6pts pour les quatre applications linéaires et 4pts pour les deux applications non linéaires.
On rappelle qu'une application \(f\) d'un espace vectoriel \(E\) dans un espace vectoriel \(F\) est linéaire si et seulement si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
quels que soient les vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\) et le scalaire \(\lambda\), on a \(f(u+v)=f(u)+f(v)\) et \(f(\lambda u)=\lambda f(u)\).
Vérifions que l'application \(f_1\) est linéaire.
Soient \(u=(x,y,z), u'=(x',y',z')\) deux vecteurs de \(\mathbb R^3\) et \(\lambda\) un réel alors \(u+u'=(x+x',y+y',z+z')\)
donc \(f_1(u+u')=(x+x',z+z')=(x,z)+(x',z')\) ainsi \(f_1(u+u')=f_1(u)+f_1(u')\).
\(\lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)\) donc \(f_1(\lambda u)=(\lambda x,\lambda z)=\lambda(x,z)\) ainsi \(f_1(\lambda u)=\lambda f_1(u)\).
Conclusion l'application \(f_1\) est linéaire.
De la même façon on démontre que les applications \(f_2\), \(f_4\) et \(f_5\) sont linéaires.
L'application \(f_3\) n'est pas linéaire car \(f_3((0,0,0))=(0,1,0)\neq(0,0,0)\).
L'application \(f_6\) n'est pas linéaire car par exemple, \(f_6((2,2))=4\) et \(2f_6((1,1))=2 \neq4\). On aurait aussi pu constater \(f_6((1,1))=1\), \(f_6((1,0))=0=f_6((0,1))\) donc \(f_6((1,1))\neq f_6((1,0))+f_6((0,1))\).