Tester la linéarité d'une application (2)

Durée : 12 mn

Note maximale : 10

Question

On considère \(P\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes sur \(\mathbb R\). On définit sur \(P\) quatre applications :

\(\left[\begin{array}{rccl}f_1 :& P&\to& \mathbb R\\ &p &\mapsto& p(1)-p(0)\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{rccl}f_2 :& P&\to& P\\ &p &\mapsto& p' \textrm{ (dérivée)}\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{rccl}f_3 :& P&\to& P\\ &p &\mapsto& 2p+1 \textrm{ ( où (2p+1)(x) = 2p(x)+1) )}\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{rccl}f_4 :& P&\to& F(\mathbb R,\mathbb R)\\ &p &\mapsto& T.p \textrm{ ( où T(x) = }e^x )\end{array}\right.\)

Dans chaque cas, tester la linéarité de l'application \(f_i\).