Composer des applications linéaires

Durée : 8 mn

Note maximale : 5

Question

Soit \(E, F, G\) des espaces vectoriels sur un corps \(\mathbf K\) (\(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)), \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\) et \(g\) une application linéaire de \(F\) dans \(G\).

  1. Montrer que \(g\circ f\) est l'application nulle si et seulement si l'image de \(f\) est incluse dans le noyau de \(g\).

  2. Construire un exemple où \(f\neq0\), \(g\neq0\) et \(g\circ f=0\).

Solution

Barème : 2pts pour la question 1 et 3pts pour la question 2.

  1. Utilisons les équivalences logiques,

    \(g\circ y\quad\Leftrightarrow\forall x\in E,g[f(x)]=0\Leftrightarrow\forall x\in E,f(x)\in\textrm{Ker}(g)\Leftrightarrow f(E)\subset\textrm{Ker}(g)\)

  2. Voici un exemple :

    \(\begin{array}{llll}f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2&f((x,y))=(x,0)&&f\neq0\\g:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2&g((x,y))=(0,y)&&g\neq0\\\forall(x,y)\in\mathbb R^2,& g[f((x,y))]=g((x,0))=(0,0)&\textrm{ donc }&g\circ f=0\end{array}\)