Composer des applications linéaires [Application linéaire]

Composer des applications linéaires

Durée : 8 mn

Note maximale : 5

Question

Soit $E, F, G$ des espaces vectoriels sur un corps $\mathbf K$ ( $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ), $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$ et $g$ une application linéaire de $F$ dans $G$ .

Montrer que $g\circ f$ est l'application nulle si et seulement si l'image de $f$ est incluse dans le noyau de $g$ .
Construire un exemple où $f\neq0$ , $g\neq0$ et $g\circ f=0$ .

Solution

Barème : 2pts pour la question 1 et 3pts pour la question 2.

Utilisons les équivalences logiques,
$g\circ y\quad\Leftrightarrow\forall x\in E,g[f(x)]=0\Leftrightarrow\forall x\in E,f(x)\in\textrm{Ker}(g)\Leftrightarrow f(E)\subset\textrm{Ker}(g)$
Voici un exemple :
$\begin{array}{llll}f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2&f((x,y))=(x,0)&&f\neq0\\g:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2&g((x,y))=(0,y)&&g\neq0\\\forall(x,y)\in\mathbb R^2,& g[f((x,y))]=g((x,0))=(0,0)&\textrm{ donc }&g\circ f=0\end{array}$