Expression explicite d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, et \(n\) sa dimension. Soit \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{n})\) une base de \(E\) et \(f\) une forme bilinéaire sur \(E.\)
Soient \(x\) et \(y\) deux éléments de \(E\) que l'on peut écrire de manière unique sous la forme \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ...+x_{n}e_{n}\) et \(y = y_{1}e_{1}+y_{2}e_{2} + ...+y_{n}e_{n}.\)
Alors \(f(x,y) = f(x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n},y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + ...+y_{n}e_{n}).\)
En utilisant la bilinéarité de \(f,\) il vient : \(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}x_{i}y_{j}f(e_{1},e_{j})}\)
Pour mieux comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce calcul pour \(n = 3.\)
Complément : Calcul dans le cas d'un espace de dimension 3
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension 3. Soit \(B = (e_{1},e_{2},e_{3})\) une base de \(E.\)
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E.\)
Soient \(x\) et \(y\) deux éléments de \(E\) que l'on peut écrire de manière unique sous la forme \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}\) et \(y = y_{1}e_{1}+y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3}.\)
Alors \(f(x,y) = f(x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3} , y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3})\)
En utilisant la linéarité par rapport à la première variable, on obtient
\(f(x,y) = x_{1}f(e_{1},y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3}) + x_{2}f(e_{2},y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3}) + x_{3}f(e_{3},y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3})\)
En utilisant, pour chaque terme de la somme qui est au second membre, la linéarité par rapport à la seconde variable on obtient
\(f(x,y) = x_{1}y_{1} f(e_{1},e_{1}) + x_{1}y_{2}f(e_{1},e_{2}) + x_{1}y_{3} f(e_{1},e_{3}) + x_{2}y_{1} f(e_{2},e_{1}) + x_{2}y_{2}f(e_{2},e_{2}) + x_{2}y_{3}f(e_{2},e_{3}) + x_{3}y_{1}f(e_{3},e_{1}) + x_{3}y_{2}f(e_{3},e_{3}) + x_{3}y_{3}f(e_{3},e_{3})\)
Ci-joint une version animée de ces transformations
La forme bilinéaire \(f\) est donc entièrement définie par les \(n^{2}\) scalaires
\(f(e_{i},e_{j}) , 1 \le i \le n , 1 \le j \le n .\)
Réciproquement il est facile de vérifier que toute application de \(E \times E\) dans \(\mathbb{K}\) de la forme \((x,y) \mapsto \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}a_{i,j}x_{i}y_{j}}\) est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).
Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :
Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, et \(n\) sa dimension. Soit \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{n})\) une base de \(E.\)
Une application de \(E \times E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme bilinéaire sur \(E\) si et seulement si il existe des scalaires \(a_{i,j}, 1 \le i \le n , 1 \le j \le n ,\) tels que pour tout
\(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n}\) et tout \(y = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + ... + y_{n}e_{n}\), \(f(x,y)\) s'écrive de la manière suivante : \(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}a_{i,j}x_{i}y_{j}}\)
Cette propriété peut être interprétée différemment, de manière à obtenir une propriété globale de l'espace vectoriel \(B(E).\)