Généralités sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques

L'introduction de matrice associée à une forme bilinéaire permet d'écrire le scalaire \(f(x,y)\) comme un produit de matrices.

La convention suivante est utilisée : la matrice scalaire \((\alpha)\) est identifiée au scalaire \(\alpha\) .

Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(n\) sa dimension, \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{n})\) une base de \(E\) et \(f\) une forme bilinéaire sur \(E.\)

On a trouvé la formule : \(f(x,y) = f(x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ... + x_{n}e_{n}, y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + ... + y_{n}e_{n})\)

\(= \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}x_{i}y_{j} f(e_{i},e_{j})}\)

Soit \(A\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{n}).\) C'est donc la matrice de \(M_{n}(\mathbb{K})\) de terme général \(f(e_{i},e_{j}).\) Soient \(X\) et \(Y\) les matrices colonnes dont les éléments sont respectivement les coordonnées de \(x\) et \(y\) dans la base \(B\) : \(X = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x_{1} \\ \vdots \\ \\ x_{n}\end{array}\right)},\) \(Y = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} y_{1} \\ \vdots \\ \\ y_{n}\end{array}\right)}.\)

Alors, en notant \(a_{i,j} = f(e_{i},e_{j}),\) il vient : \(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}x_{i}y_{j} a_{i,j}} = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}x_{i} \bigg(\displaystyle{\sum_{j=1}^{j=n}} a_{i,j} y_{j} \bigg).\)

En notant \(c_{i} = \displaystyle{\sum_{j=1}^{j=n}} a_{i,j} y_{j}\), cela donne : \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}x_{i}y_{j} a_{i,j}} = \displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}x_{i} c_{i} = \big(x_{1} . . . x_{n}\big) \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} c_{1} \\ \vdots \\ \\ c_{n}\end{array}\right)}\) ( en utilisant la convention d'identification indiquée ci-dessus).

La matrice ligne \(\big(x_{1} . . . x_{n}\big)\) est égale à \(~^{t}X\). Comment interpréter la matrice colonne \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} c_{1} \\ \vdots \\ \\ c_{n}\end{array}\right)}\)?

Le scalaire \(c_{i} = \displaystyle{\sum_{j=1}^{j=n}} a_{i,j} y_{j}\) peut être interprété comme le produit \(\big( a_{i,1} . . . a_{i,n}\big)\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} y_{1} \\ \vdots \\ \\ y_{n}\end{array}\right)}.\)

Donc \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} c_{1} \\ \vdots \\ \\ c_{n}\end{array}\right)} = A \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} y_{1} \\ \vdots \\ \\ y_{n}\end{array}\right)}\) et au bilan \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}x_{i}y_{j} a_{i,j}} = ~^{t}XAY.\)

D'où le résultat.

Bien évidemment la question qui se pose est celle de l'existence d'une formule liant les matrices associées à une forme bilinéaire dans deux bases différentes.

Soient \(B_{E}\) et \(B'_{E}\) deux bases de \(E,\) \(P\) la matrice de passage de \(B_{E}\) à \(B'_{E}.\)

Soient \(x\) et \(y\) deux éléments de \(E\) de matrices \(X ,X'\) et \(Y, Y'\) dans \(B_{E}\) et \(B'_{E}\)

respectivement. Les formules classiques de changement de base donnent les relations : \(X = PX'\), \(Y = PY'.\)

Alors, si \(f\) est une forme bilinéaire sur \(E,\) on a

\(f(x,y) = ~^{t}XAY = ~^{t}(PX')A(PY') = ~^{t}X'(~^{t}PAP)Y'.\)

La formule trouvée prouve que \(~^{t}PAP\) est la matrice associée à \(f\) dans la base \(B'_{E}.\) On peut donc énoncer la formule de changement de base :