Matrice associée à une forme bilinéaire
Théorème : Matrice associée à une forme bilinéaire dans une base
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(n\) sa dimension et \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{n})\) une base de \(E.\)
Soit \(f\) une forme bilinéaire sur \(E.\) La matrice associée à \(f\) dans la base \(B\) est la matrice à \(n\) lignes et \(n\) colonnes dont le terme de la \(i-\textrm{i\'eme}\) ligne et \(j-\textrm{i\'eme}\) colonne est \(a_{i,j},\) avec : \(a_{i,j} = f(e_{i},e_{j}).\)
Pour tout \((x,y)\) élément de \(E^{2}\), on a \(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}} a_{i,j}x_{i}y_{j}}.\)
L'application de \(M_{n}(\mathbb{K})\) dans \(B(E)\) définie par :
\(A = \bigg(a_{i,j}\bigg)_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}} \mapsto \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}} a_{i,j} B_{i,j}}\) est un isomorphisme.
Remarque :
bien observer la cohérence de l'ordre des indices sur la formule \(a_{i,j} = f(e_{i},e_{j}).\)
Attention :
cet isomorphisme n'est pas canonique car il dépend de la base choisie sur \(E\) par l'intermédiaire des formes bilinéaires \(B_{ij}.\)
Exemple :
Reprenons encore l'exemple déjà étudié :
\(E = \mathbb{R}^{2}\) et \(f\) la forme bilinéaire sur \(\mathbb{R}^{2}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2})\) et \(y = (y_{1},y_{2})\) de \(\mathbb{R}^{2}\) par : \(f(x,y) = x_{1}y_{1} - 2 x_{2}y_{1} + 2 x_{1} y_{2} - x_{2}y_{2}\)
On a déjà vu qu'elle n'est ni symétrique ni antisymétrique.
Il s'agit de déterminer la matrice associée à \(f\) dans la base canonique, soit \(A.\) L'élément de la première ligne première colonne de \(A\) est le coefficient de \(x_{1}y_{1}\)dans l'expression explicite de \(f(x,y) ;\) il est donc égal à 1. De même l'élément de la première ligne deuxième colonne de \(A\) est le coefficient de \(x_{1}y_{2},\) donc égal à 2. L'élément de la deuxième ligne première colonne de \(A\) est le coefficient de \(x_{2}y_{1},\) donc égal à -2. Enfin, l'élément de la deuxième ligne deuxième colonne de \(A\) est le coefficient de \(x_{2}y_{2},\) donc égal à -1.
Ci-après une version animée de cette étape
La matrice associée à \(f\) dans la base canonique est donc
\(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\-2 & -1\end{array}\right)}.\)