« Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique »
Définition : « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique ».
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\) ( \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\)) et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E.\)
La « forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique \(f\) » est l'application \(Q_{f}\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) qui à tout \(x\) de \(E\) associe \(f(x,x),\) c'est-à-dire :
\(\begin{array}{ccccc}Q_{f} &:& E &\to & K \\&& x &\mapsto & f(x,x) \end{array}\)
Remarque :
dans cette définition, l'expression « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique » est considérée comme un seul mot.
Exemple :
reprenons les exemples de formes bilinéaires symétriques
Soit \(E = \mathbb{K},\) \(a\) un élément de \(K\) et \(f\) la forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb{K}\) définie par
\(\begin{array}{ccccc}f &:& \mathbb{K} \times \mathbb{K}&\to & \mathbb{K} \\&& (x,y) &\mapsto & axy \end{array}\)
Alors
\(\begin{array}{ccccc}Q_{f} &:& \mathbb{K} &\to & \mathbb{K} \\&& x &\mapsto & ax^{2} \end{array}\)
Soit \(E = \mathbb{K}^{2}\) et \(h\) la forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb{K}^{2}\) dans \(\mathbb{K}\) définie par
\(\begin{array}{ccccc} h &:& \mathbb{K}^{2} \times \mathbb{K}^{2} &\to & \mathbb{K} \\&& \big((x,y),(x',y')\big) &\mapsto & xx' + yy'\end{array}\)
Alors
\(\begin{array}{ccccc}Q_{h} &:& \mathbb{K}^{2} &\to & \mathbb{K} \\&& (x,y) &\mapsto & x^{2} + y^{2}\end{array}\)
Soit \(E\) l'espace vectoriel des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\varphi\) la forme bilinéaire symétrique sur \(E\) définie par :
\((h,g) \mapsto \int_{0}^{1} h(t) g(t) dt\)
Alors \(Q_{\varphi}\) est l'application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :
\(h \mapsto \int_{0}^{1} \big[ h(t)\big]^{2} dt\).
Proposition : Quelques propriétés immédiates
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\)), \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(Q_{f}\) la forme quadratique associée à \(f.\)
i. Soit \(x\) un élément quelconque de \(E\) et \(\lambda\) un scalaire quelconque. Alors
\(Q_{f}(\lambda x) = \lambda^{2} Q_{f} (x)\)
ii. Pour tout \((x,y)\) appartenant à \(E \times E\),
\(f(x,y) = \frac{1}{2} \big[Q_{f} (x + y) - Q_{f}(x) - Q_{f} (y) \big]\)
Preuve :
Les démonstrations sont simples
Soit \(x\) un élément quelconque de \(E\) et \(\lambda\) un scalaire quelconque. Alors \(Q_{f}(\lambda x) = f(\lambda x, \lambda x ) = \lambda^{2} f(x,x) = \lambda^{2} Q_{f} (x).\)
Soit \((x,y)\) appartenant à \(E \times E.\) Alors en utilisant la bilinéarité de \(f\) il vient :
\(\begin{array}{lll}Q_{f} (x + y) &=& f(x + y, x + y)\\&=& f(x,x+y) + f(y,x+y)\\&=& f(x,x) + f(x,y) + f(y,x) + f(y,y)\end{array}\)
Comme \(f\) est symétrique cela donne
\(\begin{array}{lll}Q_{f} (x + y) &=& f(x,x) + 2 f(x,y) + f(y,y)\\&=& Q_{f}(x) + 2 f(x,y) + Q_{f} (y)\end{array}\)
D'où le résultat.
Ces propriétés sont des conditions nécessaires pour qu'une application \(q\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) soit la forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique \(f\) donnée.
En fait, on va définir la notion de forme quadratique « tout court » naturellement à partir de la définition précédente et montrer que les conditions nécessaires ci-dessus sont aussi des conditions suffisantes.