Définition d'une forme quadratique
Définition : Définition d'une forme quadratique
Une application \(q\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme quadratique sur \(E\) si il existe une forme bilinéaire symétrique \(f\) sur \(E\) telle que, pour tout \(x\) de \(E,\) \(q(x) = f(x,x).\)
Evidemment c'est une définition très simple mais qui n'est pas très commode dans la pratique, même si parfois l'expression de \(f\) saute aux yeux.
Le théorème suivant permet d'avoir une caractérisation des formes quadratiques plus utilisable.
Théorème : Caractérisation des formes quadratiques
Une application \(Q\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme quadratique sur \(E\) si et seulement si les deux propriétés suivantes sont satisfaites :
i. \(\forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K},~ Q(\lambda x) = \lambda^{2} Q(x)\)
ii. L'application \(f\) définie par \(\forall(x,y) \in E \times E, f(x,y) = \frac{1}{2} \big[Q(x+y) - Q(x) - Q(y) \big]\) est bilinéaire symétrique.
Si ces conditions sont satisfaites, \(Q\) est la forme quadratique associée à \(f\) et la forme bilinéaire symétrique \(f\) est souvent appelée forme polaire associée à \(Q.\)
Il est clair que si les propriétés i) et ii) sont satisfaites, on a :
\(f(x,x) = \frac{1}{2}\big[Q(2x) - Q(x) - Q(x)\big] = Q(x)\)
et donc \(Q\) est la forme quadratique associée à \(f.\)
Remarque :
Pour démontrer qu'une application \(q\) d'un espace vectoriel quelconque (c'est-à-dire non nécessairement de type fini) dans son corps de base est une forme quadratique, on a à priori deux méthodes : « deviner » une forme bilinéaire symétrique \(f\) telle que \(q(x) = f(x,x)\) ce qui n'est pas forcément évident, ou utiliser cette caractérisation. Même si cette deuxième méthode n'est basée que sur des vérifications, elle n'est pas toujours commode et conduit à des calculs parfois très compliqués.
Cependant, la propriété i) est souvent utilisée pour démontrer qu'une application \(q\) n'est pas une forme quadratique.
Complément : Commentaire sur le choix fait pour la définition d'une forme quadratique
Nous avons fait le choix de définir les formes quadratiques à partir des formes bilinéaires symétriques.
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application \(q\) de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) \(\varphi\) telle que pour tout \(x\) de \(E,\) on ait \(q(x) = \varphi(x,x)\) . Immédiatement cette définition est suivie de la propriété : Soit \(q\) une forme quadratique sur \(E.\) Il existe une unique forme bilinéaire symétrique \(f\) telle que pour tout \(x\) de \(E,\) on ait \(q(x) = f(x,x).\) La forme \(f\) est appelée forme polaire de \(q.\) Et à partir de là, c'est la forme polaire qui est utilisée et non pas la forme bilinéaire quelconque initiale. Donc le reste de l'étude est tout à fait semblable à ce qui est développé dans ce cours.
Il nous est apparu inutile d'introduire cette étape supplémentaire qui n'a aucun rôle dans la suite de l'étude.
Dans le cas d'une forme quadratique sur un espace de type fini on a une caractérisation beaucoup plus simple qui est utilisée systématiquement. C'est l'objet du paragraphe suivant.