Forme bilinéaire symétrique sur R3
Partie
Question
Soit \(f\) l'application de \(\mathbf R^3\times\mathbf R^3\) dans définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(\mathbf R^3\) par :
\(f(x,y)=x_1y_1+6x_2y_2+56x_3y_3-2(x_1y_2+x_2y_1)+7(x_1y_3+x_3y_1)-18(x_2y_3+x_3y_2)\)
Montrer que \(f\) est une forme bilinéaire symétrique.
Écrire la matrice associée à \(f\) dans la base canonique \(B\) de \(\mathbf R^3\).
Donner l'expression de la forme quadratique \(q\) associée à \(f\) par rapport à la base canonique \(B\) de \(\mathbf R^3\).
Soient les vecteurs \(e_1'=(1,0,0)\), \(e_2'=(2,1,0)\) et \(e_3'=(-3,2,1)\).
Montrer que \((e_1',e_2',e_3')\) est une base de \(\mathbf R^3\), appelée \(B'\).
Écrire la matrice associée à \(f\) dans la base \(B'\).
Donner l'expression de la forme quadratique \(q\) associée à \(f\) par rapport à la base \(B'\).
Aide méthodologique
On peut utiliser la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :
Soit \(E\) un \(\mathbf K-\textrm{espace}\) vectoriel de type fini et \(B=(e_1,e_2,...,e_n)\) une base de \(E\).
Une application de \(E\times E\) dans \(\mathbf K\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) si et seulement si il existe des scalaires \(a_{i,j}\), \(1\le i\le n\), \(1\le j\le n\), tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n\), \(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}1\le i\le n\\ 1\le j\le n\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\) avec \(a_{i,j}=a_{j,i}\) pour tout \(i\) et \(j\) compris entre \(1\) et \(n\).
On peut aussi utiliser la définition d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel.
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(B=(e_1,e_2,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\). La matrice associée à \(f\) dans la base \(B\) est la matrice carrée symétrique d'ordre \(n\) de terme général \(a_{i,j}=f(e_i,e_j)\).
En utilisant la définition de \(f\) on peut calculer les scalaires \(f(e_i,e_j)\). Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de \(f(x,y)\): ce sont les scalaires \(a_{i,j}\), \(1\le i\le n\), \(1\le j\le n\), tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n\), \(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}1\le i\le n\\ 1\le j\le n\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\) avec \(a_{i,j}=a_{j,i}\) pour tout \(i\) et \(j\) compris entre \(1\) et \(n\).
Utiliser la définition de la forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique.
Écrire la matrice de passage \(P\) de la base \(B\) à la base \(B'\) et utiliser la formule de changement de base.
Solution détaillée
Première méthode : on utilise la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini et \(B=(e_1,e_2,...,e_n)\) une base de \(E\).
Une application de \(E\times E\) dans \(\mathbf K\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) si et seulement si il existe des scalaires \(a_{i,j}\), \(1\le i\le n\), \(1\le j\le n\), tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n\), \(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}1\le i\le n\\ 1\le j\le n\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\) avec \(a_{i,j}=a_{j,i}\) pour tout \(i\) et \(j\) compris entre \(1\) et \(n\).
Si \(B=(e_1,e_2,e_3)\) est la base canonique de \(\mathbf R^3\) et si \(x=(x_1,x_2,x_3)\), \(y=(y_1,y_2,y_3)\) alors \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) et \(y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\), et \(f(x,y)=x_1y_1+6x_2y_2+56x_3y_3-2(x_1y_2+x_2y_1)+7(x_1y_3+x_3y_1)-18(x_2y_3+x_3y_2)\). Il existe bien des scalaires \(a_{i,j}\), \(1\le i\le 3\), \(1\le j\le 3\), tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\), \(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}1\le i\le 3\\ 1\le j\le 3\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\) avec \(a_{i,j}=a_{j,i}\) pour tout \(i\) et \(j\) compris entre \(1\) et \(3\).
L'application \(f\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbf R^3\).
Deuxième méthode : on utilise la définition d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel.
Pour un vecteur \(y\) fixé dans \(\mathbf R^3\), l'application \(x\mapsto f(x,y)\) est une application linéaire de \(\mathbf R^3\) dans \(\mathbf R\).
De plus, pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf R^3\times\mathbf R^3\), \(f(x,y)=f(y,x)\).
Pour un vecteur \(x\) fixé dans \(\mathbf R^3\), l'application \(y\mapsto f(x,y)\) est donc elle aussi une application linéaire de \(\mathbf R^3\) dans \(\mathbf R\).
L'application \(f\) est bien une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbf R^3\).
Soit \(A\) la matrice associée à \(f\) dans la base canonique \(B=(e_1,e_2,e_3)\) de \(\mathbf R^3\). C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général \(a_{i,j}=f(e_i,e_j)\).
Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de \(f(x,y)\): ce sont les scalaires \(a_{i,j}\), \(1\le i\le 3\), \(1\le j\le 3\),
tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\), \(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l}1\le i\le 3\\ 1\le j\le 3\end{array}}a_{i,j}x_iy_j}\) avec \(a_{i,j}=a_{j,i}\) pour tout \(i\) et \(j\) compris entre \(1\) et \(3\).
\(f(x,y)=x_1y_1+6x_2y_2+56x_3y_3-2(x_1y_2+x_2y_1)+7(x_1y_3+x_3y_1)-18(x_2y_3+x_3y_2)\)
Alors, \(A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&7\\-2&6&-18\\7&-18&56\end{array}\right)\).
3. Soit \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).
Si \(x=(x_1,x_2,x_3)\), \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) et \(q(x)=f(x,x)={x_1}^2+6{x_2}^2+56{x_3}^2-4x_1x_2+14x_1x_3-36x_2x_3\).
4. \(det_B(e_1',e_2',e_3')=\left|\begin{array}{rrr}1&2&-3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right|=1\). Les vecteurs \(e_1',e_2',e_3'\) sont linéairement indépendants, et, comme \(\dim\mathbf R^3=3\), ils déterminent une base de \(\mathbf R^3\).
Soit \(P\) la matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B'\), \(P=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right)\).
La matrice \(A'\) associée à \(f\) dans la base \(B'\) est telle que \(A^t=~^tPAP\).
\(A'=\left(\begin{array}{rrr} 1&0&0 \\ 2&1&0 \\ -3&2&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1&-2&7 \\ -2&6&-18 \\ 7&-18&56 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr} 1&2&-3 \\ 0&1&2 \\ 0&0&1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&-1 \end{array}\right)\)
Soit \(x\) un élément de \(\mathbf R^3\) tel que \(x=x_1'e_1'+x_2'e_2'+x_3'e_3'\). Alors, si \(X'=\left(\begin{array}{c}x_1'\\ x_2' \\ x_3' \end{array}\right)\).
\(q(x)=~^tXA^tX^t=(x_1')^2+2(x_2')^2-(x_3')^2\)
Ainsi, sur la base \(B'\), la forme quadratique \(q\) associée à \(f\) est décomposée en une somme de carrés.