Déterminant
Partie
Question
Soit \(M_2(\mathbf R)\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels et \(q\) l'application de \(M_2(\mathbf R)\) dans \(\mathbf R\) qui à toute matrice \(A\) de \(M_2(\mathbf R)\) associe son déterminant. L'application \(q\) est-elle une forme quadratique sur \(M_2(\mathbf R)\)?
Si oui, déterminer la forme bilinéaire symétrique associée.
Soit \(M_3(\mathbf R)\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. L'application de \(M_3(\mathbf R)\) dans \(\mathbf R\) qui à toute matrice \(A\) de \(M_3(\mathbf R)\) associe son déterminant est-elle une forme quadratique sur \(M_3(\mathbf R)\)?
Si oui, déterminer la forme bilinéaire symétrique associée.
Aide simple
Utiliser la base canonique \(B=(E_1,E_2,E_3,E_4)\) de \(M_2(\mathbf R)\).
\(\left(E_1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),E_2=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right),E_3=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),E_4=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)\right)\).
Aide méthodologique
Utiliser la caractérisation d'une forme quadratique sur un espace vectoriel de type fini :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini.
Une application \(q\) de \(E\) dans \(\mathbf K\) est une forme quadratique sur \(E\) si et seulement si, \(x\) étant un élément quelconque de \(E\), \(q(x)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de \(x\) dans une base de \(E\).
Utiliser la propriété suivante :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(q\) une forme quadratique sur \(E\). Alors pour tout élément \(x\) de \(E\) et pour tout scalaire \(\lambda\), \(q(\lambda x)=\lambda^2q(x)\).
Solution détaillée
Soit la base canonique \(B=(E_1,E_2,E_3,E_4)\) de \(M_2(\mathbf R)\).
\(\left(E_1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)E_2=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)E_3=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)E_4=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)\right)\).
Soit \(A=\left(\begin{array}{cc}a&c \\ b&d \end{array}\right)\) une matrice de \(M_2(\mathbf R)\). Elle s'écrit \(A=aE_1+bE_2+cE_3+dE_4\) et \(det(A)=ad-cb\).
\(det(A)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de \(A\) dans la base canonique de \(M_2(\mathbf R)\). C'est donc une forme quadratique sur \(M_2(\mathbf R)\).
La forme bilinéaire symétrique associée à \(q\) est définie pour tout \(A=aE_1+bE_2+cE_3+dE_4\) et tout \(A'=a'E_1+b'E_2+c'E_3+d'E_4\) par :
\(f(A,A')=\frac{1}{2}(ad'+a'd)-\frac{1}{2}(cb'+c'b)\).
Si \(q\) est une forme quadratique sur un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) alors elle vérifie la propriété suivante :
\(\forall x\in E\), \(\forall \lambda \in \mathbf K\), \(q(\lambda x)=\lambda^2 q(x)\).
Or, si \(A\) est une matrice de \(M_3(\mathbf R)\) et \(\lambda\) un réel, on a : \(det(\lambda A)=\lambda^3 det(A)\).
En particulier, \(det(2I_3)=8\) donc \(det(2I_3)\neq 2^2det(I_3)\).
L'application de \(M_3(\mathbf R)\) dans \(\mathbf R\) qui à toute matrice \(A\) de \(M_3(\mathbf R)\) associe son déterminant n'est donc pas une forme quadratique sur \(M_3(\mathbf R)\).