Généralités sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques

1. On démontre que \(Q\) est une forme quadratique sur \(E\) en prouvant que \(Q\) vérifie les deux propriétés :

   • a) \(\forall u\in E, \forall\lambda\in\mathbf K,~Q(\lambda u)=\lambda^2Q(u)\)

   • b) L'application \(\varphi\), définie pour tout élément \((u,v)\) de \(E\times E\) par \(f(u,v)=\frac{1}{2}[p(u+v)-p(u)-p(v)]\), est bilinéaire symétrique.

   La propriété a) est vérifiée car \(Q(\lambda u)=g(\lambda u, \lambda u)=\lambda^2 g(u,u)=\lambda^2 Q(u)\) puisque \(g\) est bilinéaire.

   On démontre la propriété b) :

   En utilisant encore la bilinéarité de \(g\), il vient :

   \(\begin{array}{rcl}\displaystyle{\frac{1}{2}[Q(u+v)-Q(u)-Q(v)]}&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[g(u+v,u+v)-g(u,u)-g(v,v)]}\\\\&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[g(u,v)+(v,u)]}\end{array}\)

   Il est immédiat que l'application \(f\) définie par \(f(u,v)=\frac{1}{2}[g(u,v)+g(v,u)]\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et comme \(f(u,u)=g(u,u)=Q(u)\), on en déduit que \(Q\) est une forme quadratique.

   La forme bilinéaire symétrique associée à \(Q\) est par définition l'application \((u,v)\mapsto\frac{1}{2}[p(u+v)-p(u)-p(v)]\), c'est donc l'application :

   \(\begin{array}{ccccl}f&:&E&\rightarrow&\mathbf K\\&&(u,v)&\mapsto&q(u)=l_1(u)l_2(u)\end{array}\)

2. Pour montrer que l'application \(q\) suivante :

   \(\begin{array}{ccccl}q&:&E&\rightarrow&\mathbf K\\&&u&\mapsto& q(u)=l_1(u)l_2(u)\end{array}\)

   est une forme quadratique sur \(E\), il suffit, d'après la première question, de montrer qu'il existe une forme bilinéaire \(g\) sur \(E\) telle que pour tout vecteur \(u\) de \(E\) on ait \(q(u)=g(u,u)\).

   D'après l'expression de \(q(u)\) qui fait intervenir deux formes linéaires, on peut essayer, comme application \(g\), celle définie pour \((u,v)\in E\times E\) par \(g(u,v)=l_1(u)l_2(v)\) et vérifier si elle est bilinéaire. Or :

   • pour tout vecteur \(v\) fixé de \(E\), en notant \(\lambda\) le scalaire \(l_2(v)\), l'application \(u\mapsto \lambda l_1(u)\) est une forme linéaire sur \(E\) puisqu'elle est proportionnelle à \(l_1\).

   • pour tout vecteur \(u\) fixé de \(E\), en notant \(\mu\) le scalaire \(l_1(u)\), l'application \(v\mapsto \mu l_2(v)\) est une forme linéaire sur \(E\) puisqu'elle est proportionnelle à \(l_2\).

   Donc \(g\) est une forme bilinéaire sur \(E\), par conséquent, d'après la première question, on en déduit d'une part que l'application \(q\) est une forme quadratique sur \(E\), et d'autre part que la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\) est l'application \(f\) définie pour \(u\) et \(v\) appartenant à \(E\) par :

   \(f(u,v)=\frac{1}{2}[l_1(u)l_2(v)+l_1(v)l_2(u)]\).

Autre démonstration :

Si l'on n'a pas eu l'idée de la démonstration précédente, il suffit de montrer que \(q\) vérifie les deux propriétés :

• a) \(\forall u\in E, \forall\lambda\in\mathbf K,~Q(\lambda u)=\lambda^2Q(u)\)

• b) L'application \(f\), définie pour tout élément \((u,v)\) de \(E\times E\) par \(f(u,v)=\frac{1}{2}[p(u+v)-p(u)-p(v)]\), est bilinéaire symétrique.

En effet \(\forall u\in E,~~\forall\lambda\in\mathbf K,~~q(\lambda u)=l_1(\lambda u)l_2(\lambda u)=\lambda^2l_1(u)l_2(u)\) car \(l_1\) et \(l_2\) sont deux applications linéaires de \(E\) dans \(\mathbf K\).

Par conséquent \(q(\lambda u)=\lambda^2 q(u)\).

On a aussi :

\(\begin{array}{rcl}f(u,v)&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[q(u+v)-q(u)-q(v)]}\\\\&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[l_1(u+v)l_2(u+v)-l_1(u)l_2(u)-l_1(v)l_2(v)]}\end{array}\)

Or \(l_1(u+v)l_2(u+v)=[l_1(u)+l_1(v)][l_2(u)+l_2(v)]\), d'où \(\displaystyle{\frac{1}{2}[l_1(u+v)l_2(u+v)-l_1(u)l_2(u)-l_1(v)l_2(v)]=\frac{1}{2}[l_1(u)l_2(v)+l_1(v)l_2(u)]}\).

Donc \(f(u,v)=\frac{1}{2}[l_1(u)l_2(v)+l_1(v)l_2(u)]\).

On remarque la symétrie de cette expression donc \(f(u,v)=f(v,u)\).

On montre que \(f\) est linéaire par rapport à la première variable : pour tout \((u,u')\) de \(E^2\) et tout \((\alpha,\alpha')\) de \(\mathbf K^2\), on a :

\(\begin{array}{rcl}f(\alpha u+\alpha'u',v)&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[l_1(\alpha u+\alpha'u')l_2(v)+l_1(v)l_2(\alpha u+\alpha'u')]}\\\\&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[\alpha l_1(u)l_2(v)+\alpha'l_1(u')l_2(v)+\alpha l_1(v)l_2(u)+\alpha'l_1(v)l_2(u')]}\\\\&=&\displaystyle{\frac{1}{2}[\alpha l_1(u)l_2(v)+\alpha l_1(v)l_2(u)+\alpha'l_1(u')l_2(v)+\alpha'l_1(v)l_2(u')]}\\\\&=&\alpha f(u,v)+\alpha'f(u',v).\end{array}\)

L'application \(f\) est donc linéaire par rapport à la première variable et comme elle est symétrique, elle est aussi linéaire par rapport à la deuxième variable, donc \(f\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(E\).

Par conséquent l'application \(q\) est une forme quadratique sur \(E\) et la démonstration précédente montre que la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\) est l'application \(f\) définie pour \(u\) et \(v\) appartenant à \(E\) par:

\(f(u,v)=\frac{1}{2}[l_1(u)l_2(v)+l_1(v)l_2(u)]\).