Égalité de matrices

Partie

Question

Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées d'ordre \(n\) (n étant un entier strictement positif) à coefficients dans \(\mathbf K\) ( \(\mathbf K=\mathbf R\) ou \(\mathbf K=\mathbf C\)). On note \(M_{n,1}(\mathbf K)\) l'ensemble des matrices colonnes à \(n\) lignes à coefficients dans \(\mathbf K\).

  1. Montrer que si on a l'égalité \(~^tXAY=~^tXBY\) pour tout \(X\) et tout \(Y\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), alors \(A=B\).

  2. On suppose de plus que \(A\) et \(B\) sont des matrices symétriques.

    Montrer que si on a l'égalité \(~^tXAX=~^tXBX\) pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), alors \(A=B\).

  3. Donner un exemple de matrices distinctes \(A\) et \(B\) telles que l'égalité \(~^tXAX=~^tXBX\) soit vérifiée pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\).