Égalité de matrices
Partie
Question
Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées d'ordre \(n\) (n étant un entier strictement positif) à coefficients dans \(\mathbf K\) ( \(\mathbf K=\mathbf R\) ou \(\mathbf K=\mathbf C\)). On note \(M_{n,1}(\mathbf K)\) l'ensemble des matrices colonnes à \(n\) lignes à coefficients dans \(\mathbf K\).
Montrer que si on a l'égalité \(~^tXAY=~^tXBY\) pour tout \(X\) et tout \(Y\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), alors \(A=B\).
On suppose de plus que \(A\) et \(B\) sont des matrices symétriques.
Montrer que si on a l'égalité \(~^tXAX=~^tXBX\) pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), alors \(A=B\).
Donner un exemple de matrices distinctes \(A\) et \(B\) telles que l'égalité \(~^tXAX=~^tXBX\) soit vérifiée pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\).
Aide simple
Pour la question 1 utiliser les formes bilinéaires \(f\) et \(g\) sur \(\mathbf K^n\) associées aux matrices \(A\) et \(B\) dans la base canonique \(B_c=(e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\mathbf K^n\) et montrer que \(f(e_i,e_j)=g(e_i,e_j)\).
Ou bien utiliser des matrices \(X\) et \(Y\) particulières. Par exemple utiliser les matrices colonnes \(X_k\) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la \(k^{\textrm{i\`eme}}\) ligne qui vaut 1.
Aide méthodologique
On peut utiliser les propriétés qui relient les matrices et les formes quadratiques.
Aide à la lecture
Dans la question 1 les matrices \(A\) et \(B\) sont des matrices carrées quelconques mais l'égalité donnée est vérifiée pour tout couple de matrices colonnes \((X,Y)\), alors que dans la question 2 les matrices \(A\) et \(B\) sont symétriques et l'égalité n'est vérifiée que pour les couples \((X,X)\).
La question 3 indique que la propriété démontrée à la question 2 n'est pas toujours vraie si \(A\) et \(B\) sont quelconques.
Solution détaillée
Soient \(\alpha_{i,j}\) les coefficients de \(A\), \(\beta_{i,j}\) ceux de \(B\) et la base canonique de \(\mathbf K^n\). On note \(f\) la forme bilinéaire de \(\mathbf K^n\) dont la matrice dans la base \(B_c\) est \(A\) et \(g\) la forme bilinéaire de \(\mathbf K^n\) dont la matrice dans la base \(B_c\) est \(B\).
Par définition de \(f\) et \(g\), on a \(f(e_i,e_j)=\alpha_{i,j}\) et \(g(e_i,e_j)=\beta_{i,j}\).
En notant \(X_k\) la matrice colonne dont les coefficients sont les coordonnées du vecteur \(e_k\) de la base \(B_c\) (\(X_k\) est la matrice de \(M_{n,1}(\mathbf K)\)dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la \(k^{\textrm{i\`eme}}\) ligne qui vaut \(1\)), et en identifiant la matrice scalaire \((\alpha)\)et le scalaire \(\alpha\), on obtient :
\(f(e_i,e_j)=~^tX_iAX_j\) et \(g(e_i,e_j)=~^tX_iBX_j\).
Comme on a l'égalité \(~^tXAY=~^tXBY\) pour tout \(X\) et tout \(Y\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), on en déduit \(f(e_i,e_j)=g(e_i,e_j)\), donc \(\alpha_{i,j}=\beta_{i,j}\), par conséquent :
\(A=B\).
Remarque : on peut aussi ne pas introduire les formes bilinéaires \(f\) et \(g\), et considérer directement les matrices colonnes \(X_k\) définies précédemment pour montrer que \(~^tX_iAX_j=\alpha_{i,j}\) et \(~^tX_iBX_j=\beta_{i,j}\).
Si \(A\) est une matrice symétrique d'ordre \(n\), à coefficients dans \(\mathbf K\), on considère la forme quadratique \(q\) définie pour tout \(x\) de \(\mathbf K^n\) par :
\(q(x)=~^tXAX\),
où \(X\) est la matrice colonne dont les éléments sont les coordonnées de \(x\) dans la base canonique de , (la matrice scalaire est identifiée au scalaire ).
La matrice A est alors la matrice associée à q dans la base canonique de \(\mathbf K^n\).
Donc si on a l'égalité \(~^tXAX=~^tXBX\) pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), avec \(A\) et \(B\) des matrices symétriques, les formes quadratiques associées à \(A\) et \(B\) sont égales.
Par conséquent les matrices \(A\) et \(B\) sont égales : \(A=B\).
Soit \(A\) une matrice non nulle antisymétrique d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\), et soit \(f\) la forme bilinéaire définie sur \(\mathbf K^n\), associée à la matrice \(A\).
La forme bilinéaire \(f\) est alors antisymétrique et par conséquent : \(\forall x\in\mathbf K^n, f(x,x)=0\).
Donc on a l'égalité \(~^tXAX=0\)pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\).
Or pour \(B=0\), matrice nulle d'ordre \(n\), on a aussi \(~^tXBX=0\)pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\).
Donc les matrices \(A\) et \(B\) sont distinctes et pourtant l'égalité est vérifiée pour tout \(X\) de \(M_{n,1}(\mathbf K)\).
Exemple :
\(A=\left(\begin{array}{ccccc}0&0&\cdots&0&1\\0&0&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&0&0\\-1&0&\cdots&0&0\end{array}\right)\): \(A=(a_{i,j})_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}\) avec
\(a_{i,j}=\left\{\begin{array}{rcl}1&si&i=1,j=n\\-1&si&i=n,j=1\\0&si&non\end{array}\right.\)