Forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique

Partie

Question

Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de dimension 2 ( \(\mathbf K=\mathbf R\) ou \(\mathbf K=\mathbf C\)), et soit \(f\) une forme bilinéaire sur \(E\).

  • Pour \(x\) un élément de \(E\) on note \(f_x\) l'application linéaire de \(E\) dans \(\mathbf K\) définie pour tout élément \(y\) de \(E\) par \(f_x(y)=f(x,y)\).

    Montrer la propriété suivante : \(\forall x\in E,~\ker f_x\neq \{0\}\).

  • On suppose que \(f\) vérifie la propriété suivante : \((\forall(x,y)\in E\times E),~~(f(x,y)=0\Rightarrow f(y,x)=0)\).

    Montrer que la forme bilinéaire \(f\) est soit symétrique soit antisymétrique.

Aide simple

Remarquer que la propriété \(\forall x\in E,~~f(x,x)=0\) se traduit dans cet exercice par \(\forall x\in E, x\in \ker f_x\).

S'il existe un vecteur \(u\) de \(E\) qui n'appartient pas à \(\ker f_u\), montrer que \(f(x,y)=f(y,x)\) en construisant une base \((u,v)\) où le vecteur \(v\) est un vecteur bien choisi.

Aide méthodologique

Pour montrer qu'une forme bilinéaire \(f\) est symétrique, on montre \(\forall(x,y)\in E\times E,~~f(x,y)=f(y,x)\).

Pour montrer qu'elle est antisymétrique, on peut montrer \(\forall(x,y)\in E\times E,~~f(x,y)=-f(y,x)\) ou la propriété équivalente \(\forall x\in E,~~f(x,x)=0\)

Aide à la lecture

Puisque \(f\) est une forme bilinéaire, l'application \(f_x\) est une application linéaire de \(E\) dans \(\mathbf K\), on peut donc considérer son noyau \(\ker f_x\).

Solution détaillée

  • Comme \(f\) est bilinéaire, pour chaque élément \(x\) de \(E\), l'application \(f_x\) est une application linéaire de l'espace vectoriel \(E\) de dimension \(2\) dans \(\mathbf K\). Comme \(\mathbf K\) est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de dimension \(1\), l'image de \(f_x\) est de dimension inférieure ou égale à \(1\). D'après le théorème du rang \((\dim E=\dim~Im f_x+\dim~\ker f_x)\), \(\dim~\ker f_x\) ne peut pas être nulle donc \(\forall x\in E,~\ker f_x\neq \{0\}\).

  • Une propriété caractéristique des formes bilinéaires antisymétriques est : \(\forall x\in E,~~f(x,x)=0\), qui peut se traduire avec les notations données par \(\forall x\in E, x\in \ker f_x\).

    Donc seuls deux cas sont possibles :

    1. pour tout \(x\) de \(E\), \(x\) appartient à \(\ker f_x\).

    2. il existe un \(x\) de \(E\) tel que \(x\) n'appartient pas à \(\ker f_x\).

    Dans le premier cas \(f\) est antisymétrique.

    Dans le second cas, on montre que \(f\) est symétrique.

    En effet, on note \(u\) un vecteur de \(E\) vérifiant \(u\notin \ker f_u\).

    Comme \(\ker f_u\neq \{0_E\}\), on choisit dans \(\ker f_u\) un vecteur \(v\) non nul.

    On a : \(v\in\ker f_u,~v\neq 0,~u\notin \ker f_u\), donc les vecteurs \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires, donc \(\{u,v\}\) est une famille libre. Or \(E\) est un espace vectoriel de dimension 2, par conséquent \((u,v)\) est une base de \(E\).

    Soient \(x\) et \(y\) des vecteurs de \(E\), il existe des scalaires \(\alpha,\beta,\gamma\) et \(\delta\) tels que \(x=\alpha u+\beta v\) et \(\gamma=\gamma u+\delta v\).

    Alors :

    \(\begin{array}{rcl}f(x,y)&=&f(\alpha u+\beta v,\gamma u+\delta v)\\&=&\alpha\gamma f(u,u)+\alpha\delta f(u,v)+ \beta\gamma f(v,u)+\beta\delta f(v,v)\end{array}\)

    et :

    \(\begin{array}{rcl}f(x,y)&=&f(\gamma u+\delta v,\alpha u+\beta v)\\&=&\gamma\alpha f(u,u)+\gamma\beta f(u,v)+\delta\alpha f(v,u)+\delta\beta f(v,v)\end{array}\)

    Comme \(v\in\ker f_u\) on a \(f(u,v)=0\), et d'après la propriété vérifiée par \(f\), on déduit \(f(u,v)=0\).

    D'où :

    \(\begin{array}{rcl}f(x,y)&=&\alpha\gamma f(u,u)+\beta\delta f(v,v)\\&=&f(y,x)\end{array}\)

    Par conséquent la forme bilinéaire \(f\) est symétrique.