Orthogonalité

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(A\) et \(B\) des parties non vides de \(E\). On note par \(Vect(A)\)le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(A\). On a les propriétés suivantes :

1. Si \(A\subset B\) alors \(B^\perp \subset A^\perp\).

2. \(A^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

3. \(A^\perp=(Vect(A))^\perp\)

1. Soit \(x\) un vecteur appartenant à \(B^\perp\), il est donc orthogonal pour \(f\) à tous les vecteurs de \(B\), et en particulier orthogonal à tous les vecteurs de \(A\). Donc \(x\) appartient à \(A^\perp\).

2. Soit \(A\) une partie non vide de \(E\). Comme \(0_E\) appartient à \(A^\perp\), \(A^\perp\) est non vide.

   Pour montrer que \(A^\perp\)est un sous-espace vectoriel de \(E\), il suffit de montrer qu'il est stable par combinaison linéaire :

   soient \(x\) et \(y\) des vecteurs appartenant à \(A^\perp\), \(\alpha\) et \(\beta\) des éléments de \(\mathbf K\), alors pour tout vecteur \(u\) de \(A\) on a :

   \(\begin{array}{rcl}f(\alpha x+\beta y,u)&=&\alpha f(x,u)+\beta f(y,u)\\&=&0\end{array}\)

   car \(u\) est orthogonal à \(x\) et à \(y\). Donc \(\alpha x+\beta y\) appartient à \(A^\perp\), et par conséquent \(A^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

3. D'après la propriété 1, comme \(A\) est contenu dans \(Vect(A)\), on a \((Vect(A))^\perp\subset A^\perp\).

   Réciproquement, tout élément de \(A^\perp\) est orthogonal à tout élément de \(A\) donc aussi à toute combinaison linéaire d'éléments de \(A\), donc appartient à l'orthogonal de \(Vect(A)\). Donc \(A^\perp\subset (Vect(A))^\perp\).

   On en déduit l'égalité \(A^\perp =(Vect(A))^\perp\).

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\).

L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de \(E\) est égal à l'orthogonal de cette famille :

si \(F=Vect(\{u_1,u_2,...,u_p\})\) alors \(F^\perp=\{u_1,u_2,...,u_p\}^\perp\).

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(F\), \(F_1\) et \(F_2\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). On a les propriétés suivantes :

1. \(F\subset(F^\perp)^\perp\)

2. \((F_1+F_2)^\perp=F_1^\perp\cap F_2^\perp\)

3. \(F_1^\perp + F_2^\perp\subset(F_1\cap F_2)^\perp\)

1. Soit \(x\) appartenant à \(F\). Pour tout \(y\) appartenant à \(F^\perp\), on a \(f(x,y)=0\). Cela signifie que \(x\) est orthogonal à tout vecteur de \(F^\perp\), donc \(x\) appartient à \((F^\perp)^\perp\). Cela prouve l'inclusion \(F\subset (F^\perp)^\perp\).

2. On montre l'égalité \((F_1+F_2)^\perp=F_1^\perp\cap F_2^\perp\):

   \(F_1\subset F_1+F_2\) et \(F_2\subset F_1+F_2\), donc, d'après la propriété 1 relative aux parties de \(E\), \((F_1+F_2)^\perp \subset F_1^\perp\) et \((F_1+F_2)^\perp \subset F_2^\perp\), d'où \((F_1+F_2)^\perp \subset F_1^\perp\cap F_2^\perp\).

   Réciproquement, soit \(x\) appartenant à \(F_1^\perp\cap F_2^\perp\), donc \(x\) est orthogonal à tout élément de \(F_1\) et à tout élément de \(F_2\), donc aussi à la somme d'un élément \(u_1\) de \(F_1\) et d'un élément \(u_2\) de \(F_2\) car \(f(x,u_1+u_2)=f(x,u_1)+f(x,u_2)=0\), par conséquent \(x\) appartient à \((F_1+F_2)^\perp\).

   Donc \(F_1^\perp\cap F_2^\perp \subset (F_1+F_2)^\perp\).

   D'où l'égalité \((F_1+F_2)^\perp = F_1^\perp\cap F_2^\perp\).

3. On montre \(F_1^\perp + F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\):

   \(F_1\cap F_2 \subset F_1\) et \(F_1\cap F_2 \subset F_2\), donc \(F_1^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\) et \(F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\).

   Par conséquent, comme \(F_1^\perp + F_2^\perp\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F_1^\perp\) et \(F_2^\perp\), et comme \((F_1\cap F_2)^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on en déduit : \(F_1^\perp + F_2^\perp \subset (F_1\cap F_2)^\perp\).