Cas des espaces vectoriels de type fini
Position du problème
Les exemples précédents ne faisaient intervenir que des expressions simples de forme bilinéaire symétrique.
Mais si on considère, par exemple, la forme quadratique définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) de \(\mathbf R^3\) par \(q(x)={x_1}^2+3{x_3}^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\), l'expression de la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\) n'est pas simple et la recherche du noyau de \(q\) par la méthode précédente conduirait à des calculs fastidieux.
Mais il existe une manière pratique de déterminer le noyau d'une forme bilinéaire symétrique lorsque le \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) considéré est de type fini, car une forme bilinéaire symétrique est alors entièrement déterminée lorsque l'on connaît sa matrice dans une base donnée.
Proposition : Détermination du noyau d'une forme bilinéaire symétrique
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(B\) une base de \(E\) et \(M\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(B\).
Pour tout vecteur \(x\) de \(E\), on note \(X\) le vecteur colonne dont les éléments sont les coordonnées dans \(B\) du vecteur \(x\).
Alors \(E^\perp=\{x\in E/MX=0\}\).
Preuve : Preuve de la proposition
Soit \(B=(e_1,e_2,...,e_n)\) une base de \(E\).
Par définition, le noyau de \(f\) est \(E^\perp=\{e_1,e_2,...,e_n\}^\perp\).
Donc \(x\in E^\perp \Leftrightarrow \forall i\in\mathbf N,~~1\le i\le n,~~f(e_i,x)=0 \).
En notant \(\displaystyle{x=\sum_{j=1}^{j=n}x_je_j}\), on a pour tout \(i\),\(1\le i\le n\), \(\displaystyle{f(e_i,x)=\sum_{j=1}^{j=n}f(e_i,e_j)x_j}\).
Par conséquent, \(x\) appartient au noyau de \(f\) si et seulement si ses coordonnées dans la base \(B\) vérifient le système d'équations suivant :
\(\left\{\begin{array}{ccccccccc}f(e_1,e_1)x_1&+&f(e_1,e_2)x_2&+&\cdots&+&f(e_1,e_n)x_n&=&0\\f(e_2,e_1)x_1&+&f(e_2,e_2)x_2&+&\cdots&+&f(e_2,e_n)x_n&=&0\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\f(e_n,e_1)x_1&+&f(e_n,e_2)x_2&+&\cdots&+&f(e_n,e_n)x_n&=&0\end{array}\right.\)
Ce système peut se mettre sous la forme matricielle \(MX=0\), dans lequel on reconnaît \(M\), la matrice associée à \(f\) dans la base \(B\), et \(X\), le vecteur colonne dont les éléments sont les coordonnées dans \(B\) du vecteur \(x\) de \(E\).
Donc \(E^\perp=\{x\in E/MX=0\}\).
Exemple :
Soit \(E=\mathbf R^3\) et \(q\) la forme quadratique définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) par \(q(x)={x_1}^2+3{x_3}^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\). La matrice associée à \(q\) dans la base canonique est :
\(M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&0&1\\2&1&3\end{array}\right)\)
Alors \(x=(x_1,x_2,x_3)\) appartient à \(E^\perp\) si et seulement si \((x_1,x_2,x_3)\) est solution des systèmes équivalents suivants :
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}x_1&+&x_2&+&2x_3&=&0\\x_1&&&+&x_3&=&0\\2x_1&+&x_2&+&3x_3&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}x_1&=&-x_3\\ x_2&=&-x_3 \end{array}\right.\)
Donc \(E^\perp= Vect\{(1,1,-1)\}\).
Corollaire :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(B\) une base de \(E\) et \(M\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(B\).
Alors \(\textrm{rang }M=\dim E-\dim E^\perp\).
Preuve : Preuve du corollaire
D'après la proposition : « Détermination du noyau d'une forme bilinéaire symétrique », \(E^\perp=\{x\in E/MX=0\}\), où \(X\) est le vecteur colonne dont les éléments sont les coordonnées dans \(B\) du vecteur \(x\) de \(E\).
Soit une application linéaire de \(E\) dans \(E\) dont la matrice dans la base \(B\) de \(E\) est la matrice \(M\). Alors \(\textrm{rang }M = \textrm{rang }\varphi\), or d'après le théorème du rang, \(\textrm{rang }\varphi=\dim E-\dim(\ker\varphi)\). Or \(\ker\varphi=\{x\in E/\varphi(x)=0\}=\{x\in E/MX=0\}\). Donc \(\ker\varphi=E^\perp\). On a par conséquent \(\textrm{rang }M=\dim E-\dim E^\perp\).
Complément : Conséquence
Le noyau de \(f\) est réduit au vecteur nul si et seulement si la matrice \(M\) associée à \(f\) dans une base donnée est inversible.
On a donc le théorème suivant :
Théorème : Caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique ou d'une forme quadratique non dégénérée à l'aide de la matrice associée
Soient \(E\) un \(K-espace\) vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(q\) la forme quadratique associée à \(f\), \(B\) une base de \(E\), \(M\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(B\).
Alors \(f\) (ou \(q\)) est non dégénérée si et seulement si \(\det M\neq0\).
Définition : Définition du rang d'une forme bilinéaire symétrique ou d'une forme quadratique
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).
On définit le rang de \(f\) (ou de \(q\)) par \(\textrm{rang }f=\dim E-\dim E^\perp\).
On déduit du corollaire précédent le résultat suivant :
Proposition :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\). Si \(M\) est la matrice associée à \(f\) dans une base \(B\) donnée.
Alors le rang de \(f\) est le rang de la matrice \(M\).
Remarque :
On peut déduire de ce qui précède le résultat intéressant suivant.
Soit \(M\) une matrice symétrique et \(P\) une matrice inversible. Alors les matrices \(M\) et \(~^tPMP\)ont le même rang : en effet ces deux matrices peuvent être interprétées comme les matrices d'une même forme bilinéaire symétrique dans deux bases différentes.