Forme quadratique sur R4

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(\lambda\) et \(\mu\) deux réels. On considère la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) par \(q_{\lambda,\mu}(x) = x_{1}^{2}-3x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+\lambda x_{4}^{2} + 2\mu x_{1}x_{2}.\)

Déterminer l'ensemble des couples \((\lambda,\mu)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) pour lesquels la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est dégénérée.

Déterminer le noyau de chacune des formes quadratiques \(q_{\lambda,\mu}\).