Forme quadratique sur R4
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(\lambda\) et \(\mu\) deux réels. On considère la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) sur \(\mathbb{R}^{4}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) par \(q_{\lambda,\mu}(x) = x_{1}^{2}-3x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+\lambda x_{4}^{2} + 2\mu x_{1}x_{2}.\)
Déterminer l'ensemble des couples \((\lambda,\mu)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) pour lesquels la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est dégénérée.
Déterminer le noyau de chacune des formes quadratiques \(q_{\lambda,\mu}\).
Solution
[4 points] La matrice associée à la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{4}\) est la matrice \(M_{\lambda,\mu}\) telle que \(\displaystyle{ M_{\lambda,\mu} = \left(\begin{array}{c c c c} 1 & \mu & 0 & 0 \\ \mu & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)}.\)
La forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est dégénérée si et seulement si le déterminant de \(M_{\lambda,\mu}\) est nul.
\(\displaystyle{\textrm{det} M_{\lambda,\mu} = \left|\begin{array}{c c c c} 1 & \mu & 0 & 0 \\ \mu & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda\end{array}\right|} = 4\lambda(3 + \mu^{2})\)
Pour tout réel \(\mu,\) \(3 + \mu^{2}\) est strictement positif, d'où : \(\textrm{det}~ M_{\lambda,\mu} = 0 \Leftrightarrow \lambda = 0.\)
La forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est dégénérée si et seulement si \(\lambda = 0.\)
L'ensemble des couples \((\lambda,\mu)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) pour lesquels la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est dégénérée est l'ensemble des couples \((0,\mu)\), \(\mu\) appartenant à \(\mathbb{R}.\)
[1 point] Soit \(E^{\perp}_{\lambda,\mu}\) le noyau de \(q_{\lambda,\mu}\).
Si \(\lambda\ne0\), la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est non dégénérée et \(E^{\perp}_{\lambda,\mu} = \{0\}.\)
Si \(\lambda = 0\), la forme quadratique \(q_{\lambda,\mu}\) est dégénérée.
[5 points] Soit \(x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) et \(\displaystyle{ X = \left(\begin{array}{ll}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right)}\)
\(x\in E^{\perp}_{0,\mu} \Leftrightarrow M_{0,\mu}X = 0 \displaystyle{\Leftrightarrow\left(\begin{array}{c c c c} 1 & \mu & 0 & 0 \\ \mu & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)}~\displaystyle{ \left(\begin{array}{ll}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right)} \displaystyle{ = \left(\begin{array}{ll} 0\\0\\0\\0 \end{array}\right)}\)
\(x\in E^{\perp}_{0,\mu} \displaystyle{\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcl}x_{1}& +& \mu x_{2}& & = 0\\\mu x_{1}& -& 3x_{2}& & = 0\\&&&-4x_{3} &= 0\end{array}\right.}\displaystyle{\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcl}x_{1}& +& \mu x_{2}& &= 0\\&-&(3+\mu^{2}) x_{2}&& = 0\\&&&-4x_{3} &= 0\end{array}\right.}\)
\(x\in E^{\perp}_{0,\mu} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0.\)
Le noyau de la forme quadratique \(q_{0,\mu}\) est la droite vectorielle de base \(e_{4},\) quelque soit le réel \(\mu.\)