Orthogonalité

1. [3 points] La matrice associée à \(f\) dans la base canonique \(B = (e_{1},e_{2},e_{3})\) de \(\mathbb{R}^{3}\) est : \(\displaystyle{ M = \left(\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)},\)

   \(\textrm{det}~M = -1\) , \(\textrm{det}~M \ne 0\), le rang de \(f\) est égal au rang de la matrice \(M,\) il est donc égal à 3.

   La forme bilinéaire symétrique \(f\) est non dégénérée.

2. [4 points] Le sous-espace vectoriel \(F\) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur \(u = (1,0,1)\) et donc \(F^{\perp} = \{u\}^{\perp}.\)

   Soit \(x = (x_{1},x_{2},x_{3}), f(x,u) = 0 \Leftrightarrow x_{1} \times 1 + x_{2} \times 0 - x_{3} \times 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = x_{3}.\)

   \(F^{\perp} = \{(\alpha,\beta, \alpha),(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}\}.\)

   L'orthogonal de \(F\) est le plan vectoriel engendré par \(u = (1,0,1)\) et \(e_{2} = (0,1,0).\)

[3 points] D'où, \(F\) est contenu dans son orthogonal et \(F\) est un sous-espace vectoriel totalement isotrope pour \(f.\)