Orthogonalité relative à une forme quadratique sur R4

Durée : 20 mn

Note maximale : 20

Question

Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{4}\) et \(q\) la forme quadratique sur \(E\) définie par :

\(q\) : \(x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mapsto x_{1}^{2} - x_{4}^{2}.\)

  1. Déterminer la matrice associée à la forme quadratique \(q\) par rapport à la base canonique \((e_{i})_{1\le i\le4}\).

    La forme quadratique \(q\) est-elle dégénérée ?

  2. Déterminer le noyau de \(q\).

  3. Déterminer l'ensemble des vecteurs isotropes relativement à \(q\).

  4. Soit les sous-espaces \(F = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in E; x_{2} = x_{3} = 0\}\)

    et \(G = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in E; x_{1} = x_{3} \}.\)

    Déterminer \(F^{\perp},G^{\perp},(F \cap{G})^{\perp},F^{\perp} + G^{\perp}.\) Que constate-t-on ?