Orthogonalité

La matrice est $\displaystyle{ M = \left(\begin{array}{r r r r } 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1  \end{array}\right)} = I_{3}.$ [2 points]

Cette matrice est inversible donc la forme quadratique $q$ n'est pas dégénérée. [2 points]

a. $q(u_{1}) = i^{2} + 1 = 0, q(u_{2}) =(-1)^{2} + i^{2} + 1 = 1, q(u_{3}) = 1 + (-i)^{2} = 0.$

Donc les vecteurs $u_{1}$ et $u_{3}$ sont isotropes [2 points], le vecteur $u_{2}$ n'est pas isotrope [1 point].

b. Soit $f$ la forme bilinéaire symétrique, sur $E,$ associée à $q.$

$f(x,y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}.$

$f(u_{1},u_{2}) = - i + i = 0$ et $f(u_{1},u_{3}) = 1,$ donc $u_{1}$ est orthogonal à $u_{2}$ [1 point] et n'est pas orthogonal à $u_{3}$ [1 point].

c. $f(u_{2},u_{3}) = i -i = 0 ,$ donc $u_{2}$ est orthogonal à $u_{3}$. [1 point]

• D'après la question précédente, $u_{1}$ est orthogonal à lui-même et à $u_{2}$ donc il est orthogonal à $F$.

  D'où $u_{1} \in F \cap F^{\perp},$ $F$ est un sous-espace isotrope. [1 point]

• Par un raisonnement analogue $u_{3} \in G \cap G^{\perp},$ G est un sous-espace isotrope. [1 point]

• Soit $v \in H \cap H^{\perp}$ alors $\exists(\alpha, \beta) \in \textrm{C}^{2},v = \alpha u_{1} + \beta u_{3}$ et $f(v,u_{1}) = f(v,u_{3}) = 0,$ d'où $\alpha f(u_{1},u_{1}) + \beta f (u_{3},u_{1}) = 0$ et $\alpha f(u_{1},u_{3}) + \beta f(u_{3},u_{3}) = 0,$ donc $\beta = 0$ et $\alpha = 0$ alors $v = 0.$ Ainsi $H$ est un sous-espace non isotrope. [2 points]

• L'intersection des deux plans distincts $F$ et $G$ est la droite vectorielle $\textrm{C}u_{2},$ soit $u \in (\textrm{C}u_{2}) \cap (\textrm{C}u_{2})^{\perp}$, $\exists\lambda\in\textrm{C},$ $u = \lambda u_{2}$ et le vecteur $u$ est orthogonal au vecteur $u_{2}$, donc $f(u,u_{2}) = 0$ puis $\lambda f(u_{2},u_{2}) = 0$ alors $\lambda = 0$ d'où $u = 0.$

  Donc $(\textrm{C}u_{2}) \cap (\textrm{C}u_{2})^{\perp} = \{0\},$ $F \cap G$ est un sous-espace non isotrope. [2 points]

• $F \cap H = \textrm{C}u_{1}$ et $u_{1}$ est orthogonal à lui-même donc $u_{1} \in (F \cap H) \cap (F \cap H)^{\perp},$ $F \cap H$ est un sous-espace isotrope. [1 point]

• De même $G \cap H = \textrm{C}u_{3}$ est un sous-espace isotrope. [1 point]

• Etude de $F + G$ :

  $\textrm{dim}(F + G) = \textrm{dim} F + \textrm{dim} G - \textrm{dim}(F \cap G) = 2+2-1 = 3.$

  Donc $F + G = E,$ or $q$ étant non dégénérée $E^{\perp} = \{0\}$ donc

  $(F + G) \cap (F + G)^{\perp} = \{0\}$ et $F + G$ est un sous-espace non isotrope. [1 point]

• Enfin $F + H = G + H = E,$ donc $F + H$ et $G + H$ sont des sous-espaces non isotropes. [1 point]