Orthogonalité relative à une forme quadratique sur C3

Durée : 30 mn

Note maximale : 20

Question

Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\textrm{C}^{3}\) et \(q\) la forme quadratique sur \(E\) définie par :

\(q :x = (x_{1},x_{2},x_{3})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}.\)

Soit les vecteurs et les sous-espaces définis par :

\(u_{1} = (i,1,0),u_{2} = (-1,i,1),u_{3} = (0,1,-i)\)

\(F = \textrm{Vect}(\{u_{1},u_{2}\}), G = \textrm{Vect}(\{u_{2},u_{3}\},H = \textrm{Vect}(\{u_{1},u_{3}\}).\)

  1. Déterminer la matrice associée à la forme quadratique \(q\) par rapport à la base canonique \((e_{1})_{1\le i\le3}\). La forme quadratique \(q\) est-elle dégénérée ?

  2. a. Pour chacun des vecteurs \(u_{1},u_{2},u_{3},\) déterminer s'il est isotrope ou non.

    b. Le vecteur \(u_{1}\) est-il orthogonal au vecteur \(u_{2}\)? au vecteur \(u_{3}\)?

    c. Le vecteur \(u_{2}\) est-il orthogonal au vecteur \(u_{3}\)?

  3. Pour chacun des sous-espaces suivants,déterminer s'il est isotrope ou non isotrope:

    \(F,G,H,F\cap{G},G\cap{H},F\cap{H},F+G,F+H,G+H.\)

Solution

  1. La matrice est \(\displaystyle{ M = \left(\begin{array}{r r r r } 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1  \end{array}\right)} = I_{3}.\) [2 points]

    Cette matrice est inversible donc la forme quadratique \(q\) n'est pas dégénérée. [2 points]

  2. a. \(q(u_{1}) = i^{2} + 1 = 0, q(u_{2}) =(-1)^{2} + i^{2} + 1 = 1, q(u_{3}) = 1 + (-i)^{2} = 0.\)

    Donc les vecteurs \(u_{1}\) et \(u_{3}\) sont isotropes [2 points], le vecteur \(u_{2}\) n'est pas isotrope [1 point].

    b. Soit \(f\) la forme bilinéaire symétrique, sur \(E,\) associée à \(q.\)

    \(f(x,y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}.\)

    \(f(u_{1},u_{2}) = - i + i = 0\) et \(f(u_{1},u_{3}) = 1,\) donc \(u_{1}\) est orthogonal à \(u_{2}\) [1 point] et n'est pas orthogonal à \(u_{3}\) [1 point].

    c. \(f(u_{2},u_{3}) = i -i = 0 ,\) donc \(u_{2}\) est orthogonal à \(u_{3}\). [1 point]

    • D'après la question précédente, \(u_{1}\) est orthogonal à lui-même et à \(u_{2}\) donc il est orthogonal à \(F\).

      D'où \(u_{1} \in F \cap F^{\perp},\) \(F\) est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • Par un raisonnement analogue \(u_{3} \in G \cap G^{\perp},\) G est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • Soit \(v \in H \cap H^{\perp}\) alors \(\exists(\alpha, \beta) \in \textrm{C}^{2},v = \alpha u_{1} + \beta u_{3}\) et \(f(v,u_{1}) = f(v,u_{3}) = 0,\) d'où \(\alpha f(u_{1},u_{1}) + \beta f (u_{3},u_{1}) = 0\) et \(\alpha f(u_{1},u_{3}) + \beta f(u_{3},u_{3}) = 0,\) donc \(\beta = 0\) et \(\alpha = 0\) alors \(v = 0.\) Ainsi \(H\) est un sous-espace non isotrope. [2 points]

    • L'intersection des deux plans distincts \(F\) et \(G\) est la droite vectorielle \(\textrm{C}u_{2},\) soit \(u \in (\textrm{C}u_{2}) \cap (\textrm{C}u_{2})^{\perp}\), \(\exists\lambda\in\textrm{C},\) \(u = \lambda u_{2}\) et le vecteur \(u\) est orthogonal au vecteur \(u_{2}\), donc \(f(u,u_{2}) = 0\) puis \(\lambda f(u_{2},u_{2}) = 0\) alors \(\lambda = 0\) d'où \(u = 0.\)

      Donc \((\textrm{C}u_{2}) \cap (\textrm{C}u_{2})^{\perp} = \{0\},\) \(F \cap G\) est un sous-espace non isotrope. [2 points]

    • \(F \cap H = \textrm{C}u_{1}\) et \(u_{1}\) est orthogonal à lui-même donc \(u_{1} \in (F \cap H) \cap (F \cap H)^{\perp},\) \(F \cap H\) est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • De même \(G \cap H = \textrm{C}u_{3}\) est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • Etude de \(F + G\) :

      \(\textrm{dim}(F + G) = \textrm{dim} F + \textrm{dim} G - \textrm{dim}(F \cap G) = 2+2-1 = 3.\)

      Donc \(F + G = E,\) or \(q\) étant non dégénérée \(E^{\perp} = \{0\}\) donc

      \((F + G) \cap (F + G)^{\perp} = \{0\}\) et \(F + G\) est un sous-espace non isotrope. [1 point]

    • Enfin \(F + H = G + H = E,\) donc \(F + H\) et \(G + H\) sont des sous-espaces non isotropes. [1 point]