Orthogonalité

1. La matrice associée à la forme quadratique \(q_\lambda\) dans la base \(B\) est la matrice \(M_\lambda\) telle que \(M_\lambda=\left(\begin{array}{ccc}\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{array}\right)\).

   La forme quadratique \(q_\lambda\) est non dégénérée si et seulement si le déterminant de \(M_\lambda\) est non nul.

   On calcule le déterminant de \(M_\lambda\).

   On effectue d'abord la transformation suivante : \(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\)

   \(\det M_\lambda=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2&1&1\\\lambda +2&\lambda&1\\\lambda +2&1&\lambda\end{array}\right|=(\lambda+2)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{array}\right|\).

   puis on effectue successivement les transformations : \(L_2\leftarrow L_2-L_1,~L_3\leftarrow L_3-L_1\),

   \(\det M_\lambda=(\lambda+2)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{array}\right|=(\lambda+2)(\lambda-1)^2\)

   • Si \(\lambda\notin \{-2,1\}\) le déterminant de la matrice \(M_\lambda\) est différent de \(0\), la forme quadratique \(q_\lambda\) est non dégénérée.

   • Si \(\lambda=-2\) ou \(\lambda=1\), le déterminant de la matrice \(M_\lambda\) est nul, la forme quadratique \(q_\lambda\) est dégénérée.

2. Soit \(E_\lambda^\perp\) l'orthogonal de \(E\) pour la forme quadratique \(q_\lambda\).

   • Si \(\lambda\notin\{-2,1\}\) la forme quadratique \(q_\lambda\) est non dégénérée, d'où \(E_\lambda^\perp=\{0\}\).

   • Si \(\lambda=-2\), \(M_{-2}\) est la matrice associée à \(q_{-2}\) dans la base \(B=(e_1,e_2,e_3)\), \(M_{-2}=\left(\begin{array}{rrr}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\right)\).

     Soit \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) un vecteur de \(E\), on note \(X\) la matrice colonne \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)\), alors \(x\in E_{-2}^\perp \Leftrightarrow M_{-2}X=0\).

     \(\begin{array}{rcl}{M_{-2}X=0 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)}&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcc}-2x_1&+&x_2&+&x_3&=&0 \\ x_1&-&2x_2&+&x_3&=&0 \\ x_1&+&x_2&-&2x_3&=&0\end{array}\right.}\\\\ &\Leftrightarrow& {\left\{\begin{array}{rcrcrccr}-2x_1&+&x_2&+&x_3&=&0& \\ 3x_1&-&3x_2&&&=&0& L_2\leftarrow L_2-L_1\\ -3x_1&+&3x_2&&&=&0& L_3\leftarrow L_3+2L_1\end{array}\right.} \end{array}\)

     \(x\in E^\perp \Leftrightarrow x_1=x_2=x_3\).

     Le sous-espace vectoriel \(E_{-2}^\perp\) est la droite vectorielle de base \(e_1+e_2+e_3\).

   • Si \(\lambda=1\), \(M_1\) est la matrice associée à \(q_1\) dans la base \(B=(e_1,e_2,e_3)\), \(M_1=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\).

     Soit \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) un vecteur de \(E\), on note \(X\) la matrice colonne \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)\),

     \(M_1X=0\Leftrightarrow\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0\end{array}\right.\)

     \(x\in E_1^\perp \Leftrightarrow x_1+x_2x+x_3=0 \Leftrightarrow x_3=-x_1-x_2 \Leftrightarrow x=x_1(e_1-e_3)+x_2(e_2-e_3)\).

     Le sous-espace vectoriel \(E_1^\perp\) est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs \(e_1-e_3\) et \(e_2-e_3\). Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, d'où la dimension de \(E_1^\perp\) est égale à 2.

3. Soit \(f_\lambda\) la forme bilinéaire symétrique associée à \(q_\lambda\).

   • \(\lambda=-2\),

     \(M_{-2}=\left(\begin{array}{ccc}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}f_{-2}(e_1,e_1)&f_{-2}(e_1,e_2)&f_{-2}(e_1,e_3) \\ f_{-2}(e_2,e_1)&f_{-2}(e_2,e_2)&f_{-2}(e_2,e_3) \\ f_{-2}(e_3,e_1)&f_{-2}(e_3,e_2)&f_{-2}(e_3,e_3)\end{array}\right)\)

     \(F=Vect(\{e_1,e_2\})\)

     La matrice \(M_{-2}'\) associée à la restriction de \(q_{-2}\) à \(F\) dans la base \((e_1,e_2)\) est alors

     \(M_{-2}'=\left(\begin{array}{cc}f_{-2}(e_1,e_1)&f_{-2}(e_1,e_2) \\ f_{-2}(e_2,e_1)&f_{-2}(e_2,e_2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2&1\\1&-2\end{array}\right)\), \(\det M_{-2}'=3\), la restriction de \(q_{-2}\) à \(F\) est non dégénérée.

     \(G=Vect(\{e_1,e_2-e_3\})\)

     \(f_{-2}(e_1,e_1)=-2\) \(f_{-2}(e_1,e_2-e_3)=f_{-2}(e_1,e_2)-f_{-2}(e_1,e_3)=1-1=0\)

     \(f_{-2}(e_2-e_3,e_2-e_3)=q_{-2}(e_2-e_3)=-2(1+1)+2(-1)=-6\).

     La matrice \(M_{-2}''\) associée à la restriction de \(q_{-2}\) à \(G\) dans la base \((e_1,e_2,-e_3)\) est alors

     \(M_{-2}''=\left(\begin{array}{ccc}f_{-2}(e_1,e_1)&f_{-2}(e_1,e_2-e_3)\\f_{-2}(e_2-e_3,e_1)&f_{-2}(e_2-e_3,e_2-e_3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2&0\\0&-6\end{array}\right)\),

     \(\det M_{-2}''=12\), la restriction de \(q_{-2}\) à \(G\) est non dégénérée.

   • \(\lambda=0\)

     Soit \(M_0\) la matrice associée à \(q_0\) dans la base \(B=(e_1,e_2,e_3)\),

     \(M_0=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).

     \(F=Vect(\{e_1,e_2\})\).

     La matrice \(M_0'\) associée à la restriction de \(q_0\) à \(F\) dans la base \((e_1,e_2)\) est alors

     \(M_0'=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\), \(\det M_0'=-1\), la restriction de \(q_0\) à \(F\) est non dégénérée.

     \(G=Vect(\{e_1,e_2-e_3\})\)

     \(f_{0}(e_1,e_1)=0\) \(f_{0}(e_1,e_2-e_3)=f_{0}(e_1,e_2)-f_{0}(e_1,e_3)=1-1=0\)

     \(f_{0}(e_2-e_3,e_2-e_3)=q_{0}(e_2-e_3)=2(-1)=-2\).

     La matrice \(M_0''\) associée à la restriction de \(q_0\) à \(G\) dans la base \((e_1,e_2-e_3)\) est alors

     \(M_{0}''=\left(\begin{array}{ccc}f_{0}(e_1,e_1)&f_{0}(e_1,e_2-e_3)\\f_{0}(e_2-e_3,e_1)&f_{0}(e_2-e_3,e_2-e_3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&0\\0&-2\end{array}\right)\),

     \(\det M_0''=0\), la restriction de \(q_0\) à \(G\) est dégénérée.

Remarque :

La forme quadratique \(q_0\) est non dégénérée et sa restriction à \(G\) est dégénérée.

Le fait de savoir si une forme quadratique sur un espace vectoriel est dégénérée ou non ne permet pas de savoir si sa restriction à un sous-espace vectoriel est dégénérée ou non.