Déterminant d'une matrice de M2(R)

Partie

Question

Soit \(M_2(\mathbf R)\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels et \(q\) la forme quadratique sur \(M_2(R)\) qui à toute matrice \(A\) de \(M_2(\mathbf R)\) associe son déterminant.

  1. La forme quadratique \(q\) est-elle dégénérée?

  2. Déterminer les éléments isotropes pour \(q\).

  3. Soit \(F\) et \(G\) les sous-espaces vectoriels de \(M_2(\mathbf R)\) définis par : \(F=\left\{\left(\begin{array}{cc} a&c \\ b&0 \end{array}\right),(a,b,c)\in\mathbf R^3\right\}~~~~G=\left\{\left(\begin{array}{cc} a&c \\ b&-a \end{array}\right),(a,b,c)\in\mathbf R^3\right\}\).

    Déterminer les sous-espaces vectoriels suivants : \(F^\perp\), \(G^\perp\), \((F+G)^\perp\) et \((F\cap G)^\perp\). Ces sous-espaces vectoriels sont-ils isotropes ?