Orthogonalité

\(f(x,y)=x_1y_1+2x_3y_3+2(x_1y_3+x_3y_1)+x_2y_3+x_3y_2\).

La matrice \(M\) associée à \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\) est : \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&0&1\\2&1&2\end{array}\right)\), \(\det M=-1\), le rang de \(f\) est égal à 3 et \(E^\perp=\{0\}\).

Soit \(B=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf R^3\). Le sous-espace vectoriel \(F\) est engendré par les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\), d'où : \(F^\perp=\{e_1,e_2\}^\perp\).

Soit \(x=(x_1,x_2,x_3)\)

\(f(x,e_1)=0\Leftrightarrow x_1+2x_3=0\) et \(f(x,e_2)=0\Leftrightarrow x_3=0\).

D'où \(x\in F^\perp \Leftrightarrow x_1=x_3=0\) et \(F^\perp=Vect(\{e_2\})\).

\(F^\perp\cap F=Vect(\{e_2\})\), \(F^\perp\cap F\neq \{0\}\), le sous-espace vectoriel \(F\) est isotrope pour \(f\) mais non totalement isotrope car \(F\) n'est pas inclus dans \(F^\perp\).

La matrice \(M\) associée à \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&0&1\\2&1&2\end{array}\right)\).

La matrice \(M'\) de la restriction de \(f\) au sous-espace vectoriel \(F\) dans la base \((e_1 ,e_2)\) est \(M'=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\),

\(\det M'=0\), la restriction de \(f\) à \(F\) est dégénérée et donc le sous-espace vectoriel \(F\) est isotrope pour \(f\) mais non totalement isotrope car \(M'\neq\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)\).

D'après la matrice \(M\), \(f(e_1,e_2)=f(e_2,e_2)=0\), d'où le vecteur \(e_2\) appartient à l'orthogonal de \(F\).

D'autre part la forme bilinéaire \(f\) étant non dégénérée, on a : \(\dim F^\perp=\dim \mathbf R^3-\dim F\) et donc \(\dim F^\perp=1\).

On retrouve le résultat : \(F^\perp=Vect(\{e_2\})\).