Famille orthogonale, famille orthonormale
Définition : famille orthogonale
Une famille de \(p\) vecteurs \(U_1,U_2,\ldots,U_p\) est orthogonale si pour tout couple \((i,j)\) où \(i\) et \(j\) sont deux éléments distincts de \(\{1,2,\ldots,p\}\), les vecteurs \(U_i\) et \(U_j\) sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que \(f(U_i,U_j)=0\).
Définition : famille orthonormale
Une famille de \(p\) vecteurs \(U_1,U_2,\ldots, U_p\) est orthonormale si pour tout couple \((i,j)\) où \(i\) et \(j\) sont éléments de \(\{1,2,\ldots,p\}\),
\(f(U_i,U_j)=0\) si \(i\neq j\)
\(f(U_i,U_j)=1\) si \(i= j\)
On a immédiatement la propriété suivante :
Propriété : Propriété des familles orthonormales
Une famille orthonormale de \(p\) vecteurs \(U_1,U_2,\ldots,U_p\) est libre.
Preuve : Preuve de la propriété
Soit \(\lambda_1U_1+\lambda_2U_2+\ldots+\lambda_pU_p=0\) une combinaison linéaire nulle des vecteurs \(U_1,U_2,\ldots,U_p\).
Soit \(k\) un entier quelconque compris entre \(1\) et \(p\).
Alors \(f(\lambda_1U_1+\lambda_2U_2+\ldots+\lambda_pU_p,U_k)=f(0,U_k)=0\).
Comme \(f\) est bilinéaire cela donne \(\displaystyle\sum^{i=p}_{i=1}\lambda_if(U_i,U_k)=0\). Comme la famille est orthonormale,
\(f(U_i,U_j)=0\) si \(i\neq j\)
\(f(U_i,U_j)=1\) si \(i= j\)
et donc le seule terme de la somme qui reste est \(\lambda_k\). Il s'en déduit l'égalité :
\(\lambda_k=0\).
Ceci achève la démonstration.
Remarque :
Ce résultat n'est pas vrai en général pour une famille orthogonale. Considérons pour s'en convaincre l'exemple suivant : soit \(E=R^3\), \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique et \(q\) la forme quadratique sur \(E\) définie par \(q(x_1,x_2,x_3)=x_3^2\). Alors la famille \(e_1,e_2,e_1+e_2\) est orthogonale et n'est pas libre.