Base orthogonale, base orthonormale
La problématique de départ est de trouver une caractérisation des bases de telles que la matrice associée à f (ou à q) par rapport à l'une de ces bases soit diagonale.
Si B=(\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n) est une telle base de E. La matrice associée à f (ou à q) par rapport à cette base est diagonale, c'est-à-dire de la forme :
\left(\begin{array}{cccc}\alpha_1&0&\ldots&0\\0&\alpha_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&0&\alpha_n\end{array}\right)
où les \alpha_i sont des éléments de K dont certains peuvent être nuls.
On a alors :
\begin{array}{cc}\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2,&i=j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_i)=q(\epsilon_i)=\alpha_i\\&i\neq j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0\end{array}
Cela conduit à la définition de la notion de base orthogonale.
Définition : base orthogonale, base orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique
On dit qu'une base de E est orthogonale (relativement à f ou à q) si ses vecteurs forment une famille orthogonale c'est-à-dire vérifient les relations :
\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2, i\neq j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0
On dit qu'une base de E est orthonormale (relativement à f ou à q) si et seulement si ses vecteurs forment une famille orthonormale c'est-à-dire vérifient les relations :
\begin{array}{cc}\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2,&i\neq j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_i)=0\\&i= j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_j)=1\end{array}
Remarque :
Dans le cas d'une base orthogonale aucune contrainte n'est imposée aux termes f(\epsilon_i,\epsilon_i).
Une base orthonormale est orthogonale. La réciproque n'est pas vraie.
Complément : Conséquence : on a bien une réponse à la question posée
Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique f si et seulement si la matrice associée à f par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Une base est orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique f si et seulement si la matrice associée à f par rapport à cette base est la matrice unité.
Complément : Notation
La notion de base orthonormale ou orthogonale est relative à la forme quadratique ou bilinéaire symétrique considérée. C'est pourquoi lorsqu'il y a un risque de confusion, on utilise le vocabulaire suivant : base f-orthogonale ou base q-orthogonale
Exemple :
Soit E=R^3 et B=(e_1,e_2,e_3) sa base canonique.
Soit l'application q de R^3 dans R définie pour tout x=(x_1,x_2,x_3)=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3de R^3 par :
q(x)=x_1^2+x^2_2+x_3^2.
Alors la matrice associée à q dans la base canonique est la matrice unité d'ordre 3 et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (théorème précédent) est définie pour tout élément x=(x_1,x_2,x_3) et y=(y_1,y_2,y_3 par :
f(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
On reconnaît le produit scalaire euclidien de la géométrie classique, la quantité \sqrt{q(x)} étant la norme euclidienne du vecteur x.
La base canonique de R^3 est donc une base orthonormale pour f. On retrouve la situation classique de la géométrie euclidienne de l'espace.
Soit E=R^3 et B=(e_1,e_2,e_3,e_5) sa base canonique.
Soit l'application \phi de R^4 dans R définie pour tout x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4 de R^4 par :
\phi(x)=x_1^2+2x_2^2+x_4^2.
Alors la matrice associée à \phi dans la base canonique est la matrice \left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right).
La base canonique est donc une base orthogonale pour \phi ou est \phi-orthogonale, mais n'est pas une base \phi-orthonormale.