Base orthogonale, base orthonormale
La problématique de départ est de trouver une caractérisation des bases de \(E\) telles que la matrice associée à \(f\) (ou à \(q\)) par rapport à l'une de ces bases soit diagonale.
Si \(B=(\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n)\) est une telle base de \(E\). La matrice associée à \(f\) (ou à \(q\)) par rapport à cette base est diagonale, c'est-à-dire de la forme :
\(\left(\begin{array}{cccc}\alpha_1&0&\ldots&0\\0&\alpha_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\ldots&0&\alpha_n\end{array}\right)\)
où les \(\alpha_i\) sont des éléments de \(K\) dont certains peuvent être nuls.
On a alors :
\(\begin{array}{cc}\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2,&i=j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_i)=q(\epsilon_i)=\alpha_i\\&i\neq j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0\end{array}\)
Cela conduit à la définition de la notion de base orthogonale.
Définition : base orthogonale, base orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique
On dit qu'une base de \(E\) est orthogonale (relativement à \(f\) ou à \(q\)) si ses vecteurs forment une famille orthogonale c'est-à-dire vérifient les relations :
\(\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2, i\neq j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_j)=0\)
On dit qu'une base de E est orthonormale (relativement à \(f\) ou à \(q\)) si et seulement si ses vecteurs forment une famille orthonormale c'est-à-dire vérifient les relations :
\(\begin{array}{cc}\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2,&i\neq j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_i)=0\\&i= j\Rightarrow f(\epsilon_i,\epsilon_j)=1\end{array}\)
Remarque :
Dans le cas d'une base orthogonale aucune contrainte n'est imposée aux termes \(f(\epsilon_i,\epsilon_i)\).
Une base orthonormale est orthogonale. La réciproque n'est pas vraie.
Complément : Conséquence : on a bien une réponse à la question posée
Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique \(f\) si et seulement si la matrice associée à \(f\) par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Une base est orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique \(f\) si et seulement si la matrice associée à \(f\) par rapport à cette base est la matrice unité.
Complément : Notation
La notion de base orthonormale ou orthogonale est relative à la forme quadratique ou bilinéaire symétrique considérée. C'est pourquoi lorsqu'il y a un risque de confusion, on utilise le vocabulaire suivant : base \(f\)-orthogonale ou base \(q\)-orthogonale
Exemple :
Soit \(E=R^3\) et \(B=(e_1,e_2,e_3)\) sa base canonique.
Soit l'application \(q\) de \(R^3\) dans \(R\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\)de \(R^3\) par :
\(q(x)=x_1^2+x^2_2+x_3^2\).
Alors la matrice associée à \(q\) dans la base canonique est la matrice unité d'ordre 3 et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (théorème précédent) est définie pour tout élément \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et \(y=(y_1,y_2,y_3\) par :
\(f(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\).
On reconnaît le produit scalaire euclidien de la géométrie classique, la quantité \(\sqrt{q(x)}\) étant la norme euclidienne du vecteur \(x\).
La base canonique de \(R^3\) est donc une base orthonormale pour \(f\). On retrouve la situation classique de la géométrie euclidienne de l'espace.
Soit \(E=R^3\) et \(B=(e_1,e_2,e_3,e_5)\) sa base canonique.
Soit l'application \(\phi\) de \(R^4\) dans \(R\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4\) de \(R^4\) par :
\(\phi(x)=x_1^2+2x_2^2+x_4^2\).
Alors la matrice associée à \(\phi\) dans la base canonique est la matrice \(\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\).
La base canonique est donc une base orthogonale pour \(\phi\) ou est \(\phi\)-orthogonale, mais n'est pas une base \(\phi\)-orthonormale.