Rang et signature d'une forme quadratique

Durée : 10 mn

Note maximale : 8

Question

Soit \(q\) la forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{4}\) définie pour tout vecteur \(x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) de \(\mathbb{R}^{4}\) par :

\(q(x) = -x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{2}x_{4} + 4x_{3}x_{4}.\)

  1. Donner une décomposition en « carrés » de la forme quadratique \(q.\)

  2. En déduire le rang et la signature de la forme quadratique \(q.\)

  3. La forme quadratique \(q\) est-elle dégénérée ? Est-elle positive ?

Solution

1. L'expression de \(q(x)\) , \(q(x) = -x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + 4x_{2}x_{3} +4x_{2}x_{4}+4x_{3}x_{4}\) comporte plusieurs termes « carrés ».

On regroupe les termes en \(x_{2},\) ce qui donne :

\(\begin{array}{lll} q(x) &=& -x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{2}(2x_{3} + 2x_{4}) + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + 4x_{3}x_{4} \\ &=& -x_{1}^{2} +(x_{2} +2x_{3} +2x_{4})^{2} -3x_{3}^{2}-3x_{4}^{2}-4x_{3}x_{4}, \end{array}\)

puis les termes en \(x_{3}\) :

\(\begin{array}{lll} q(x) &=& -x_{1}^{2} +(x_{2} + 2x_{3} + 2x_{4})^{2} - 3 \big(x_{3}^{2} + \frac{4}{3}x_{3}x_{4}\big) - 3x_{4}^{2} \\ &=& -x_{1}^{2} +(x_{2} +2x_{3} +2x_{4})^{2} -3\bigg[\bigg(x_{3} + \frac{2}{3}x_{4}\bigg)^{2} -\frac{4}{9}x_{4}^{2}\bigg]-3x_{4}^{2}.\end{array}\)

Donc \(q(x) = -x_{1}^{2} + (x_{2} + 2x_{3} +2x_{4})^{2} -3\bigg(x_{3} + \frac{2}{3}x_{4}\bigg)^{2} -\frac{5}{3} x_{4}^{2}.\) [4 points]

Remarque

les termes en \(x_{2},\) en \(x_{3}\) et en \(x_{4}\) ayant le même coefficient dans l'expression initiale de \(q(x),\) on trouve des expressions analogues dans la décomposition en carrés de \(q\) en permutant les termes en \(x_{2},\) \(x_{3}\) et \(x_{4}.\)

2. La forme quadratique \(q,\) définie sur \(\mathbb{R}^{4},\) se décompose en combinaison linéaire de carrés de quatre formes linéaires linéairement indépendantes, son rang est par conséquent 4 et sa signature est donnée par le nombre de coefficients positifs et de coefficients négatifs, on a donc :

\(\textrm{rang}(q) = 4\)

\(\textrm{signature de } q = (\mathrm{1,3})\)

[2 points]

3. L'espace vectoriel considéré est \(\mathbb{R}^{4},\) de dimension 4 et le rang de \(q\) est 4, par conséquent la forme quadratique \(q\) n'est pas dégénérée.

La forme quadratique \(q\) n'est pas positive puisque sa signature n'est pas de la forme \((n,0).\) On peut voir aussi que le vecteur \(x = (1,0,0,0)\) est tel que \(q(x) = -1.\) [2 points]