Formes quadratiques avec paramètres
Durée : 20 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(q\) la forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{4}\) définie pour tout vecteur \(x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) de \(\mathbb{R}^{4}\) par :
\(q(x) = x_{1}x_{2} + a x_{2}x_{3} + b x_{1}x_{4} + x_{2}x_{4},\)
\(a\) et \(b\) étant deux réels quelconques.
Déterminer suivant les valeurs de \(a\) et \(b\) le rang et la signature de \(q.\)
Solution
On commence par décomposer la forme quadratique \(q\) en « carrés ».
Comme l'expression de \(q(x)\) ne comporte aucun terme « carré », on privilégie un terme rectangle, par exemple \(x_{1}\) \(x_{2},\) dont le coefficient ne dépend pas d'un paramètre.
On écrit alors \(q(x)\) sous la forme : \(q(x) = x_{1}x_{2} + x_{1}L_{1}(x_{3},x_{4}) + x_{2}L_{2}(x_{3},x_{4}),\) où \(L_{1}\) et \(L_{2}\) sont des formes linéaires en \(x_{3}\) et \(x_{4}\) ; ici \(L_{1}(x_{3},x_{4}) = bx_{4}\) et \(L_{2}(x_{3},x_{4}) = ax_{3} + x_{4}.\)
On obtient : \(q(x) = x_{1}x_{2} + x_{1}\big(bx_{4}\big) + x_{2}\big(ax_{3} + x_{4}\big).\)
On met ensuite \(q(x)\) sous la forme :
\(q(x) = \big(x_{1} + L_{2}(x_{3},x_{4})\big)\big(x_{2} + L_{1}(x_{3},x_{4})\big) - L_{1}\big(x_{3},x_{4}\big) \times L_{2}\big(x_{3},x_{4}\big).\)
On obtient : \(q(x) = \big(x_{1} + ax_{3} + x_{4}\big)\big(x_{2} + bx_{4}\big) - b x_{4}^{2} - abx_{3}x_{4}.\)
Le terme \(\big(x_{1} + L_{2}(x_{3},x_{4})\big)\big(x_{2} + L_{1}(x_{3},x_{4})\big) = \big(x_{1} + ax_{3} + x_{4}\big)\big(x_{2} + bx_{4}\big)\) est de la forme
\(uv = \frac{1}{4}(u + v)^{2} -\frac{1}{4}(u-v)^{2},\) par conséquent :
\(\big(x_{1} + ax_{3} + x_{4}\big)\big(x_{2} + b x_{4}\big) = \frac{1}{4}\big(x_{1} + x_{2} + ax_{3} + (1+b)x_{4}\big)^{2} - \frac{1}{4}\big(x_{1}-x_{2} + a x_{3} + (1-b)x_{4}\big)^{2}\)
et le terme \(-L_{1}\big(x_{3},x_{4}\big) \times L_{2}\big(x_{3},x_{4}\big) = -b x_{4}^{2} - a b x_{3}x_{4}\) est une forme quadratique en \(x_{3}\) et \(x_{4},\) qu'on décompose aussi en « carrés » :
\(-bx_{4}^{2} - ab x_{3}x_{4} = -b\bigg(x_{4} + \frac{a}{2} x_{3}\bigg)^{2} + \frac{a^{2}b}{4}x_{3}^{2}.\)
D'où la décomposition de \(q(x)\) en « carrés » :
\(q(x) = \frac{1}{4}\big(x_{1} + x_{2} + ax_{3} + (1 + b) x_{4}\big)^{2} - \frac{1}{4}\big(x_{1} - x_{2} + a x_{3} + (1 - b) x_{4}\big)^{2} - b\bigg(x_{4} + \frac{a}{2} x_{3}\bigg)^{2} + \frac{a^{2}b}{4}x_{3}^{2}\) [4 points]
De par leurs constructions, les quatre formes linéaires \(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\) définies par :
\(f_{1} : \big(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\big) \mapsto x_{1} + x_{2} + a x_{3} + (1 + b) x_{4},\)
\(f_{2} : \big(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\big) \mapsto x_{1} - x_{2} + a x_{3} + (1 - b) x_{4},\)
\(f_{3} : \big(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\big) \mapsto \frac{a}{2} x_{3} + x_{4},\)
\(f_{4} : \big(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\big) \mapsto x_{3} ,\)
sont linéairement indépendantes pour toutes les valeurs de \(a\) et \(b.\) [1 point]
L'expression de \(q(x)\) est donc : \(q(x) = \frac{1}{4}\big[f_{1}(x)\big]^{2} - \frac{1}{4}\big[f_{2}(x)\big]^{2} - b\big[f_{3}(x)\big]^{2} + \frac{a^{2}b}{4}\big[f_{4}(x)\big]^{2}\)
En notant par \(sg(q)\) la signature de \(q\) et par \(rg(q)\) le rang de \(q,\) on obtient les résultats suivants :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{l r r}b = 0 \qquad \qquad \quad :~~sg(q) = (\mathrm{1,1}) \quad \textrm{et}\quad rg(q) = 2\\ \\ b>0 ~\textrm{et} ~\displaystyle{\left\{\begin{array}{rl}a = 0 :& sg(q) = (\mathrm{1,2}) \quad \textrm{et}\quad rg(q) = 3\\a\ne 0 :& sg(q) = (\mathrm{2,2})\quad \textrm{et}\quad rg(q) = 4\end{array}\right.}\\ \\ b<0 ~\textrm{et}~\displaystyle{\left\{\begin{array}{rl}a = 0 :& sg(q) = (\mathrm{2,1}) \quad \textrm{et}\quad rg(q) = 3\\a\ne 0 :& sg(q) = (\mathrm{2,2})\quad \textrm{et}\quad rg(q) = 4\end{array}\right.}\end{array}\right.}\)
[5 points]