Problème A [Problèmes de synthèse]

Problème A

Partie

Dans ce problème, on appelle espace quadratique un espace vectoriel sur \(K\) (\(K = R\) ou \(K = C\)) muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.

On note \((E,f)\) un espace quadratique non nul de type fini et \(\bigcirc(E,f)\) son groupe orthogonal^[1] ; on se propose d'établir par récurrence la propriété suivante :

(P) Pour tout \(u\in \bigcirc(E,f)\), il existe un nombre fini de symétries hyperplanes^[2] \(s_1,s_2,\ldots,s_r\) de \(\bigcirc(E,f)\) telles que \(u=s_1\circ s_2\circ \ldots\circ s_r\).

Dans cette partie, on considère un espace quadratique \((E,f)\) de dimension 1.

Question

A.1 Montrer l'égalité : \(\bigcirc(E,f)=\{id_E,-id_E\}\), où \(id_E\) est l'application identique de \(E\).

Aide simple

Soit \(u\in \bigcirc(E,f)\), choisir une base de \(E\) et utiliser le fait que \(u\) conserve la forme bilinéaire symétrique \(f\).

Soient \(u\in \bigcirc(E,f)\) et \(e\) un vecteur non nul de \(E\). Comme \(E\) est de dimension 1, \(\{e\}\) est une base de \(E\) et il existe un scalaire \(\lambda\in K\) tel que \(u(e)=\lambda e\). On a :

\(f(u(e),u(e))=f(\lambda_e,\lambda_e)=\lambda^2 f(e,e)\)

Par hypothèse \(u\) conserve \(f\) donc : \(f(u(e),u(e))=f(e,e)\)

d'où \(f(e,e)=\lambda^2f(e,e)\). Comme \(f\) est non dégénérée et que \({e}\) est une base de \(E\), \(f(e,e)\neq 0\), par conséquent \(\lambda^2=1\) donc \(\lambda=1\) ou \(\lambda=-1\). Ceci prouve que les seules possibilités pour \(u\) sont \(u=id_E\)ou \(u=-id_E\). Comme \(id_E\) et \(-id_E\) sont des automorphismes de \(E\) qui conservent \(f\), ce sont donc des automorphismes orthogonaux d'où \(\bigcirc(E,f)=\{id_E,-id_E\}\).

Question

A.2 Déterminer les symétries hyperplanes d'un espace quadratique \((E,f)\) de dimension 1.

Aide simple

Dans un espace vectoriel de dimension 1, le seul hyperplan est \(\{0_E\}\).

Solution détaillée

Soient \((E,f)\) un espace quadratique de dimension 1 et \(s\) une symétrie hyperplane de \(\bigcirc(E,f)\).

Le seul hyperplan de \(E\) est le sous-espace vectoriel \(\{O_E\}\) et comme \(\{O_E\}^\bot=E\), on en déduit, d'après la définition de \(s\) :\(\forall x\in E\), \(s(x)=-x\)

Donc : \(s=-id_E\)

Ceci prouve que dans un espace vectoriel de dimension 1, il existe une seule symétrie hyperplane qui est \(-id_E\).

Question

A.3 En déduire que la propriété (P) est vraie lorsque \(\textrm{dim}(E)=1\).

Solution détaillée

Si \(u\in \bigcirc(E,f)\) et \(\textrm{dim}(E)=1\) alors \(u=id_E\) ou \(u=-id_E\). Comme \((-id_E)\circ(-id_E)=id_E\), ceci prouve que tout élément de \(\bigcirc(E,f)\) est soit une symétrie hyperplane soit la composée de 2 symétries hyperplanes. Par conséquent la propriété \((P)\) est vraie lorsque \(\textrm{dim}(E)=1\).

Notes

Groupe orthogonal
- Lorsque \(E\) est un espace vectoriel de type fini et \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur \(E\), nous appelons espace quadratique de type fini le couple \((E,f)\).
- Lorsque \(E\) est un espace vectoriel et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), on dit qu'une application \(u\) de \(E\) dans \(E\) conserve \(f\) si pour tous vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) on a :
  \(f(u(x),u(y))=f(x,y)\)
- Lorsque \((E,f)\) est un espace quadratique de type fini, un automorphisme de \(E\) qui conserve \(f\) est appelé « automorphisme orthogonal de \(E\) pour \(f\) ».
  L'ensemble de ces automorphismes est stable pour la composition des applications et se nomme le groupe orthogonal de \(f\) que l'on note \(\bigcirc(E,f)\).
Symétries hyperplanes
Soit \((E,f)\) un espace quadratique de dimension \(n\), \(n\geq 1\), et \(\bigcirc(E,f)\) son groupe orthogonal.
- On appelle hyperplan de \(E\) tout sous-espace de dimension \(n-1\).
- On appelle symétrie hyperplane de \(\bigcirc(E,f)\) une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan non isotrope \(F\) de \(E\) : c'est l'endomorphisme de \(E\) dont la restriction à \(F\) est l'homothétie de rapport 1de \(F\), c'est à dire l'identité de \(F\), et la restriction à \(F^\bot\) est l'homothétie de rapport \(-1\) de \(F^\bot\), c'est-à-dire « moins l'identité » de \(F^\bot\).
- Si \(F\) est un hyperplan non isotrope de \(E\) et \(a\) un vecteur non nul orthogonal à \(F\), on a \(F=(Ka)^\bot\) et \(a\) est non isotrope. Le vecteur \(a\) détermine de façon unique l'hyperplan \(F\) et on note \(s_a\) la symétrie orthogonale par rapport à \(F\).
- Lorsque \(a\) est un vecteur non isotrope de \(E\), le sous espace \(F=(Ka)^\bot\) est un hyperplan non isotrope de \(E\) et la symétrie orthogonale par rapport à cet hyperplan se note \(s_a\).